Spickzettel - Bonn Mathematics

Schülerwoche 2011
– Spickzettel –
Melanie Ludwig
Hausdorff Center for Mathematics
Zahlenbereiche.
N:
Z:
Q:
R:
C:
P:
Menge der natürlichen Zahlen: 1, 2, 3, 4, . . .
Menge der ganzen Zahlen: · · · − 4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .
Menge der rationalen Zahlen, also die Menge aller Brüche
√
Menge der reellen Zahlen, also Q zusammen mit den irrationalen Zahlen (π, e, 2, . . . )
√
Menge der komplexen Zahlen, mit i := −1, und z ∈ C ⇔ ∃a, b ∈ R : z = a + ib
oft verwendet als Menge der Primzahlen.
Mathematische Symbole aus der Mengentheorie.
∈: a ∈ A, „a ist Element von A“. Beispiel: 2 ∈ {1, 2, 3, 4}.
∈:
/ a∈
/ A, „a ist nicht/kein Element von A“. Beispiel: 0 ∈
/ {1, 2, 3, 4}.
⊆: B ⊆ A, „B ist Teilmenge von A“. Hierbei kann B auch die gesamte Menge A sein. Beispiel:
{2} ⊆ {1, 2, 3}, {2, 3} ⊆ {1, 2, 3}, {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3}.
(: B ( A, „B ist Teilmenge von A“, wobei B ungleich A sein muss. Beispiel: {2} ( {1, 2, 3}, {2, 3} (
{1, 2, 3}.
⊂: Kann sowohl ⊆ als auch ( bedeuten.
*: B * A, „B ist keine Teilmenge von A“. Beispiel: 2 * {1, 2, 3} (beachte: 2 ∈ {1, 2, 3}, aber
{2} ( {1, 2, 3}), {3, 7} * {1, 2, 3}.
∩: A ∩ B, „A geschnitten B“. Beispiel: A = {1, 2}, B = {2, 3} ⇒ A ∩ B = {2}
∪: A ∪ B, „A vereinigt B“. Beispiel: A = {1, 2}, B = {2, 3} ⇒ A ∪ B = {1, 2, 3}
T
Bemerkung: ∩ und ∪ werden oft auch für mehr Mengen verwendet: ni=1 Ai = A1 ∩ · · · ∩ An
S
oder auch i∈I Bi für die Vereinigung aller Bi mit i ∈ I (I Indexmenge).
Mathematische Symbole aus der Logik.
∀: ∀n ∈ N : ..., „Für alle (Elemente) n aus N gilt: . . . “ (lies: „n Element N“)
∃: ∃n ∈ N : ..., „Es existiert ein n aus N, für das gilt: . . . “
@: @n ∈ N : ..., „Es existiert kein n aus N, für das gilt: . . . “
∧: a ∧ b, „a und (zugleich) b“. Beispiel: Stehe 0 für „falsch“, 1 für „wahr“. Dann ist 0 ∧ 1 = 0.
∨: a ∨ b, „a oder (auch) b“. Beispiel: Stehe 0 für „falsch“, 1 für „wahr“. Dann ist 0 ∨ 1 = 1.
¬: Negation einer mathematischen Aussage. Ist A eine wahre Aussage, so ist ¬A („nicht A“)
falsch, und ist umgekehrt A falsch, so ist ¬A wahr (also ¬0 = 1, ¬1 = 0).
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Allgemeines.
Mengenschreibweise: Beispiel: 2N := {n ∈ N | ∃m ∈ N : n = 2m} bedeutet: „2N (die
Menge der geraden natürlichen Zahlen) ist definiert als die Menge aller n in N, für die ein
m in N exisitert, sodass gilt: n = 2m.“ Häufig wird auch nur der Doppelpunkt verwendet:
2N := {n ∈ N : ∃m ∈ N : n = 2m}
⇔: Äquivalenzpfeil. Beispiel: A ⇔ B: „A gilt genau dann, wenn B gilt.“
⇒: Folgerungspfeil. Beispiel: A ⇒ B: „Aus A folgt B.“
|A|: „Betrag von A“, oft auch mit #A bezeichnet. Anzahl der Elemente in (der Menge) A.
Beispiel: |{1,4,7}| = 3.
Q Qn
xi = x1 · x2 · · · xn
:
P Pi=1
n
:
i=1 xi = x1 + x2 + · · · + xn
assoziativ: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c,
(a · b) · c = a · (b · c) = a · b · c
kommutativ: a + b = b + a,
a·b=b·a
distributiv: (a + b) · c = a · c + b · c
, q.e.d.: „quod erat demonstrandum - was zu beweisen war“. Wird oft als Symbol für das
Ende eines Beweises genutzt.
Logarithmus.
P
Q
(1) log( ni=1 xi ) = ni=1 log(xi )
(2) log xy = log x − log y
(3) log xr = r · log x
ar
(4) logb r = log
log b
=⇒
log
√
1
n
x = log x n =
1
n
· log x
a
Intervalle. Seien a, b ∈ R mit a ≤ b. Dann gibt es folgende Abkürzungen:
(1) [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} (d.h. die Menge aller x in R, für die gilt: a ≤ x ≤ b.)
(2) [a, b) = [a, b[= {x ∈ R : a ≤ x < b}, und (a, b] =]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
(3) (a, b) =]a, b[= {x ∈ R : a < x < b}
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