Analysis II für Studierende der Ingenieurwissenschaften

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Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg
Prof. Dr. Armin Iske
Dr. Hanna Peywand Kiani
SoSe 2014
Analysis II
für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Blatt 2, Hausaufgaben
Aufgabe 1:
a) Für welche reelle Zahlen x konvergiert die Reihe
∞
X
(x + 3)k log(k 2 )
?
k4
k=1
Hinweise: Die Regel von de l’Hospital kann hilfreich sein.
Die Untersuchung der Randpunkte ist nicht ganz einfach. Zeigen Sie log(x) < x, ∀x ≥ 2
und benutzen Sie eine geeignete Majorante.
b) Bestimmen Sie die Potenzreihe der Funktion
g(x) =
8x
zum Entwicklungs(4x − 2)2
punkt x0 = 0 .
c) Geben Sie mit Hilfe der aus der Vorlesung bekannten Potenzreihenentwicklung
∞
X
(−1)k 2k
x
cos(x) =
(2k)!
k=0
die Potenzreihenentwicklungen der Funktionen f (x) = cos2 (x) und g(x) = sin2 (x)
mit Entwicklungspunkt x0 = 0 an. Hinweis : Additionstheorem !
Aufgabe 2:
sinh(x) + 2x
das Taylorpolynom T5 (x; x0 )
2 cosh(x) − x2 − 1
fünften Grades zum Entwicklungspunkt x0 = 0 .
a) Bestimmen Sie für die Funktion g(x) =
b) Bestimmen Sie die Potenzreihenentwicklungen der Funktion
1
1
g(x) =
·
x0 = 0 .
1 − x 1 + x3
zum Entwicklungspunkt x0 = 0 .
Hinweis: Cauchy-Produkt und geometrische Reihen.
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