Analysis II für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg
Prof. Dr. Armin Iske
Dr. Hanna Peywand Kiani
SoSe 2014
Analysis II
für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Blatt 2, Hausaufgaben
Aufgabe 1:
a) Für welche reelle Zahlen x konvergiert die Reihe
∞
X
(x + 3)k log(k 2 )
?
k4
k=1
Hinweise: Die Regel von de l’Hospital kann hilfreich sein.
Die Untersuchung der Randpunkte ist nicht ganz einfach. Zeigen Sie log(x) < x, ∀x ≥ 2
und benutzen Sie eine geeignete Majorante.
b) Bestimmen Sie die Potenzreihe der Funktion
g(x) =
8x
zum Entwicklungs(4x − 2)2
punkt x0 = 0 .
c) Geben Sie mit Hilfe der aus der Vorlesung bekannten Potenzreihenentwicklung
∞
X
(−1)k 2k
x
cos(x) =
(2k)!
k=0
die Potenzreihenentwicklungen der Funktionen f (x) = cos2 (x) und g(x) = sin2 (x)
mit Entwicklungspunkt x0 = 0 an. Hinweis : Additionstheorem !
Aufgabe 2:
sinh(x) + 2x
das Taylorpolynom T5 (x; x0 )
2 cosh(x) − x2 − 1
fünften Grades zum Entwicklungspunkt x0 = 0 .
a) Bestimmen Sie für die Funktion g(x) =
b) Bestimmen Sie die Potenzreihenentwicklungen der Funktion
1
1
g(x) =
·
x0 = 0 .
1 − x 1 + x3
zum Entwicklungspunkt x0 = 0 .
Hinweis: Cauchy-Produkt und geometrische Reihen.