Schriftliche Aufgaben - D-MATH

Dr. Francesca da Lio
Dr. Markus Hansen
FS2013
Komplexe Analysis (D-ITET)
Serie 2
Elementare komplexe Funktionen, Grenzwerte und
Stetigkeit.
Schriftliche Aufgaben
Aufgabe 1
a) Bestätigen Sie, dass die aus der reellen Analysis bekannte Rechenregel ln(xy) =
ln(x) + ln(y) auch für den komplexen Logarithmus gilt, also
log(z · z 0 ) = log z + log z 0 .
Dabei ist die Summe zweier Mengen elementweise zu interpretieren, d.h. für
A, B ⊂ C ist
A + B = {a + b ∈ C : a ∈ A , b ∈ B} .
Hinweis: Verwenden Sie die Identität log z = ln |z| + i arg z.
b) Geben Sie ein Beispiel an, dass der Hauptwert des Logarithmus, also jener
Repräsentant w = Log z von log z = {w ∈ C : ew = z} im Streifen S = {w ∈ C :
−π < Im w < π}, diese Rechenregel nicht erfüllt. Finden Sie also zwei Zahlen
z, z 0 ∈ C∗ mit
Log(z · z 0 ) 6= Log z + Log z 0 .
Aufgabe 2
a) Bestätigen Sie das Potenzgesetz
0
0
p. v. az+z = p. v. az · p. v. az .
b) Zeigen Sie dass für alle n ∈ N gilt
an = |a ·{z
· · a} ,
a ∈ C∗ ,
p. v. a1/n = p. v.
und
√
n
a,
a ∈ C−∗ ,
n-mal
wobei die erste Gleichung zu verstehen ist als: Die Menge an enthält nur das
Element a · · · a.
1
Aufgabe 3
a) Berechnen Sie den Grenzwert
lim
z→0
(Re z)(Im z)
.
z
b) Ermitteln Sie, ob der Grenzwert
(Re z)(Im z)
z→0
zz
lim
existiert.
c) Freiwillig: Zeigen Sie, dass der Grenzwert
(Re z)2 (Im z)
z→0 (Re z)4 + (Im z)2
lim
nicht existiert.
Aufgabe 4
Zeigen Sie, dass der Hauptzweig des Logarithmus
Log z = ln |z| + Arg(z) ,
wenn betrachtet auf C∗ = C \ {0} nicht stetig ist. Dabei ist wie üblich Arg(z)
der Hauptwert des Arguments mit Werten in [−π, π).
Aufgabe 5
Bestätigen Sie durch direkte Rechnung die folgenden Identitäten:
a) cos2 z + sin2 z = 1 für alle z ∈ C,
b) sin(z + w) = sin(z) cos(w) + cos(z) sin(w) für alle z, w ∈ C,
c) cosh(z + w) = cosh(z) cosh(w) + sinh(z) sinh(w) für alle z, w ∈ C.
2