Übungsblatt 3

Institut für Mathematik
Finanzmathematik I (WS 2016/17)
Prof. Dr. Stefan Ankirchner
Dr. Kai Kümmel
Übungsblatt 3
Abgabe: 08.11.2016
Aufgabe 1
Es seien
(4 Punkte)
Yn , n ≥ 0,
unabhängige Zufallsvariablen auf
P [Yn = 2n ] =
1
2
(Ω, F, P)
1
P [Yn = −2n ] = .
2
und
Fn = σ(Y0 , ..., Yn ), Xn =
min(∅) = ∞.
Pn
(a) Zeigen Sie, dass
(Xn )n∈N
(Fn )-Martingal
(b) Zeigen Sie, dass
{τ = n} = {Y0 ≤ 0, ..., Yn−1 ≤ 0, Yn > 0}
(c) Zeigen Sie, dass
E[Xτ ] = 1
Seien
k=0
ein
und
Yk
mit
und
τ = min {n ∈ N0 | Xn > 0},
E[Xn∧τ ] = 0
und
τ
eine
für alle
(Fn )-Stoppzeit
und
(Xn )n≥0
ist.
P [τ < ∞] = 1.
n ≥ 0.
Aufgabe 2 - Random Walk und Stoppsatz
Sei
wobei
(4 Punkte)
x ∈ Z (s. Übungsblatt
a < x < b sei τa,b = min{n ≥ 0 | Xn ∈
/ (a, b)}. Es
dass P[τa,b < ∞] = 1.
die einfache symmetrische Irrfahrt mit Start in
1, Aufgabe 4). Für
a, b ∈ Z
kann vorausgesetzt werden,
mit
(a) Zeigen Sie durch Anwenden des Stoppsatzes (Satz 2.13) auf das Martingal
(Xn )
und mit Hilfe von
P[τa,b < ∞] = 1,
dass
P[Xτa,b = a] =
b−x
.
b−a
(b) Leiten Sie mit Hilfe des Stoppsatzes eine Formel für
Aufgabe 3
(Xn )n≥0 und (Yn )n≥0 zwei Supermartingale auf (Ω, F, (Fn ), P)
(Fn )-Stoppzeit, sodass Xτ ≥ Yτ auf {τ < ∞}. Zeigen Sie, dass
Zn = Xn 1{τ >n} + Yn 1{τ ≤n}
ein
her.
(2 Punkte)
Es seien
eine
E[τa,b ]
(Fn )-Supermartingal
ist.
1
und
τ
sei
Aufgabe 4 - Martingalkonvergenz
(6 Punkte)
(a) Sei (Xn )n≥0 ein nichtnegatives Supermartingal. Zeigen Sie, dass (Xn ) fast sicher
gegen eine nichtnegative Zufallsvariable
(b)
X
mit
E[X] ≤ E[X0 ]
konvergiert.
P[Zn = 12 ] = 67 .
In Übung 2, Aufgabe 2 wurde gezeigt, dass der Prozess (Xn )n≥0 mit X0 = 2,
Xn = Zn Xn−1 , n ≥ 1, ein nichtnegatives Martingal bzgl. (Fn ) mit F0 = {∅, Ω}
und Fn = σ(Z1 , ...Zn ) ist. Zeigen Sie:
Zn , n ≥ 1,
seien i.i.d. Zufallsvariablen mit
Xn −→
0,
n→∞
P[Zn = 4] =
P − fast
1
und
7
sicher.
Pn
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass log(Xn ) − log(2) =
dann mit Hilfe des starken Gesetzes der groÿen Zahlen, dass
P-fast
sicher, für
k=1 log(Zk ) und
log(Xn ) −→ −∞,
n → ∞.
Zusatzaufgabe
Sei
(Xn )n≥0
(3 Punkte)
(Ω, F, (Fn ), P)
c>0
x P sup Xn > c ≤ min
,1
c
n∈N
ein positives Supermartingal auf
Zeigen Sie, dass für alle
gilt, indem Sie Aufgabe 3 und die Stoppzeit
mit
X0 = x > 0.
τc = min{n ∈ N0 | Xn > c}, c > 0,
verwenden.
Insgesamt: 16 Punkte
2