Übungen zur Finanzmathematik

Prof. Dr. Martin Keller-Ressel
Technische Universität Dresden
Institut für mathematische Stochastik
Übungen zur Finanzmathematik
Aufgabenblatt 1
Übungstermin 19. April 2016
Aufgabe 1.
a) Vervollständigen Sie den Beweis von Lemma 0.1 aus der Vorlesung,
d.h. zeigen Sie mit hilfe des No-Arbitrage-Prinzips Ct ≤ St , wobei St
und Ct den Preis des Basisguts und den Preis der europäischen Calloption
bezeichnen.
b) Leiten Sie zu Lemma 0.1 analoge Schranken für Pt , den Preis einer europäischen Putoption zum Zeitpunkt t, her.
c) Sei Xt (K) der Preis eines Terminvertrags auf das Basisgut S mit Ausübungspreis K. Der Wert Ft , der
Xt (Ft ) = 0
löst, heißt Terminpreis von S zum Zeitpunkt t. Zeigen Sie mithilfe des
Replikationsprinzips und elementaren Argumenten, dass
Ft =
St
B(t, T )
gilt.
Aufgabe 2. Sei X ∈ L1 (Ω, F, P) und G ⊆ F. Zeigen Sie die Existenz und die
Eindeutigkeit der bedingten Erwartung E [ X| G].
Hinweis zum Existenzbeweis:
- Ansatz 1: Satz von Radon-Nikodym.
- Ansatz 2: Erweitern Sie ein stetiges Funktional von einem geeigneten
Banachraum auf einen anderen.
Aufgabe 3.
a) Sei X ∈ L1 (Ω, F, P), G ⊆ F und Q ∼ P ein äquivalentes W-Maß, dann
gilt:
G
EP X · dQ
Q
dP
dQ E [ X| G] =
EP dP G
b) Sei (Ω, F, P) ein W-Raum mit Filtration (Ft )t∈I und sei Q P.
Zeigen Sie: Der Dichteprozess Mt = EP dQ
dP Ft ist ein Martingal bzgl.
Ft .
c) Beweisen Sie Kor. 1.10 aus der Vorlesung: Sei X ein adaptierter stochastischer Prozess. Wenn für jeden lokal beschränkten vorhersehbaren Prozess
ξ gilt, dass
E [(ξ ◦ X)T ] = 0,
dann ist (Xn )n∈{0,...,T } ein Martingal.
Aufgabe 4. Unter welchen Bedingungen an die Renditen Rn ist der diskonS1
tierte Preisprozess Xt := St0 im CRR-(Cox-Ross-Rubinstein-) Modell ein Mart
tingal?