Prof. Dr. Rainer Dahlhaus

Prof. Dr. Rainer Dahlhaus
Wahrscheinlichkeitstheorie 1
Sommersemester 2016
Vorbereitung auf 10. Übungsblatt (Präsenzübungen)
Aufgabe P37 (Beispiele für Martingale).
(a) Eine Urne enthalte zum Zeitpunkt 0 genau eine rote und eine schwarze Kugel. Zu jedem
Zeitpunkt (von 1 an) wird eine Kugel gezogen, die gezogene Kugel in die Urne zurückgelegt
und eine weitere Kugel derselben Farbe hinzugefügt. Sei Mn der Anteil der schwarzen
Kugeln nach dem n-ten Mal Ziehen (und Zurücklegen). Ist Mn ein Martingal?
(b) Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und εk : (Ω, A) → (R, BR ) (k ∈ N) eine Folge
von i.i.d. Zufallsvariablen mit ε1 ∼ N (0, 1). Sei
Sn :=
n
X
εk ,
S0 := 0.
k=1
Finden Sie zu jedem a ∈ R, a > 0 ein geeignetes b ∈ R, sodass (Xn )n∈N0 mit Xn :=
exp(aSn + bn) ein Martingal bzgl. einer geeigneten Filtration ist.
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Hinweis: Es gilt E[eσε1 ] = e−σ /2 für alle σ ∈ R, σ > 0.
Aufgabe P38 (Einfache Eigenschaften von Martingalen und Stoppzeiten).
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (Fn )n∈N0 eine Filtration auf (Ω, A).
(a) Seien S, T (Fn )n∈N0 -Stoppzeiten. Zeigen Sie, dass dann auch S ∧ T := min{S, T } und
S ∨ T := max{S, T } sowie S + T (Fn )n∈N0 -Stoppzeiten sind.
(b) Sind (Xn )n∈N0 , (Yn )n∈N0 (Fn )n∈N0 -Submartingale, so ist auch die Folge (Xn ∨ Yn )n∈N0 ein
(Fn )n∈N0 -Submartingal.
(c) Es sei (Xn )n∈N0 ein (Fn )n∈N0 -Martingal mit der Eigenschaft E[Xn2 ] < ∞ für alle n ∈ N0 .
Zeigen Sie, dass die Differenzen Dn := Xn − Xn−1 für n ∈ N paarweise unkorreliert sind.
Aufgabe P39 (Anwendung des Optional Sampling Theorems: Erwartungswert einer
Stoppzeit).
Bei einer Münze sei die Wahrscheinlichkeit für ’Zahl’ (Z) durch p ∈ (0, 1) gegeben und die
Wahrscheinlichkeit für ’Kopf’ (K) entsprechend 1 − p. Wir werfen diese Münze so lange, bis
die Sequenz ZZZ erscheint. Ziel der Aufgabe ist die Berechnung der erwarteten Anzahl von
Münzwürfen, bis dieses Ereignis das erste Mal eintritt.
Wir gehen dazu wie folgt vor: Wir definieren eine Folge (Xn )n∈N von i.i.d. Zufallsvariablen auf
1
einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P), wobei P(X1 = Z) = p, P(X1 = K) = 1 − p. Hierbei
stellt Xn das Ergebnis des n-ten Münzwurfs dar. Wir stellen uns nun vor, dass unendlich
viele Spieler S1 , S2 , S3 , ... in einem riesigen Casino den Münzwürfen beiwohnen und wie folgt
mitspielen: Zu Beginn hat jeder Spieler ein Guthaben von 1 Euro. Spieler Sn tritt beim nten Wurf in das Spiel ein. Er setzt sein gesamtes Guthaben auf Zahl und erhält p1 -mal seinen
Einsatz, wenn er gewinnt. Diesen setzt er dann gleich bei dem nächsten Wurf wieder auf Zahl
und erhält wieder p1 -mal seinen Einsatz, wenn er gewinnt, usw. Setzt er falsch, verliert er seinen
gesamten Einsatz. Er spielt 3 Spiele, danach schaut er nur noch zu.
Es sei nun Pn der Profit des Casinos nach dem n-ten Wurf (wobei Verluste negativ zählen).
(a) Zeigen Sie, dass das Guthaben von Spieler Sk nach Spielrunde k + j (k ∈ N, j ∈ N0 )
durch
(
1

j
 p , Xk+l = Z, , 0 ≤ l < 3,
Y
(k)
(k)
(k)
Aj :=
Hl ,
Hl :=
0, Xk+l 6= Z


l=0
1,
l ≥ 3.
gegeben ist.
(b) Zeigen Sie, dass für n ∈ N gilt: Pn = n −
Pn
(k)
k=1
An−k , P0 := 0.
(c) Es sei Fn := σ(Xk : k ≤ n). Zeigen Sie, dass (Pn )n∈N0 ein Martingal bzgl. (Fn )n∈N0 ist.
(d) Definiere τ := inf{n ≥ 3 : (Xn−2 , Xn−1 , Xn ) = (Z, Z, Z)}. Zeigen Sie, dass Eτ < ∞.
(e) Nutzen Sie (c) und (d) und das Optional Sampling Theorem, um zu zeigen:
3 2 1
1
1
+
+
.
Eτ =
p
p
p
Aufgabe P40 (Anwendung des Optional Sampling Theorems).
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und εk : (Ω, A) → (R, BR ) (k ∈ N) eine i.i.d. Folge
von Zufallsvariablen mit P(ε1 = −1) = P(ε1 = 1) = 21 . Definiere
Sn :=
n
X
εk ,
S0 := 0,
k=1
und die Stoppzeit τ := inf{n ∈ N : Sn ∈ {2, −3}}. Zeigen Sie:
(a) Es gilt Eτ < ∞.
(b) Es ist P(Sτ = 2) = 53 .
(c) Berechnen Sie Eτ .
Abgabe: Keine Abgabe. Dieses Übungsblatt wird (teilweise) in den Übungen besprochen.
Homepage der Vorlesung:
http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hu020/WT1/index.html
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