Brush-Up für WiWi - Übungsaufgaben

WS 2013/14
04.10.2013
Dipl.-Math. Stefan Roth
Brush-Up für WiWi - Übungsaufgaben
Besprechung: Ab dem 7. Oktober.
Aufgabe 1
Hans und Peter werfen abwechselnd mit zwei Würfeln. Hans gewinnt, wenn er vor Peter die
Augensumme 6 würfelt und Peter gewinnt, wenn er vor Hans die Augensumme 7 würfelt. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß Hans das Spiel gewinnt, wenn er beginnt?
Aufgabe 2
In einem Topf befinden sich n Lose, darunter 1 Gewinn. n Personen stehen in einer Warteschlange. Die Personen ziehen nacheinander die Lose aus dem Topf ohne Zurücklegen. Bestimme die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Person, die als k-te zieht, gewinnt. Ist es besser, als erster oder
als letzter zu ziehen?
Aufgabe 3
Ein Museum verwendet für die Beleuchtung seiner Kunstgegenstände zu 40% Energiesparleuchten
mit einer langen, 35% mit einer mittleren und 25% mit einer kurzen Lebensdauer. 30% der
Energiesparleuchten mit kurzer, 10% mit mittlerer und 5% mit langer Lebensdauer sind defekt.
Angenommen, man finde eine defekte Energiesparleuchte; mit welcher Wahrscheinlichkeit war
diese von mittlerer Lebensdauer?
Aufgabe 4
Die Professoren Kalteisen, Halbherz und Ruhbach teilten sich die vierwöchige Prüfungszeit, 5
Tage Kalteisen, 7 Tage Halbherz und 8 Tage Ruhbach. Die langjährigen Durchfallquoten sind bei
Kalteisen 1/2, bei Halbherz 1/3 und bei Ruhbach 1/4. Wer an welchen Tagen prüfte ist nicht
bekannt. Am 1. August bestanden zwei der drei Kandidaten des Tages. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Halbherz geprüft?
Aufgabe 5
Betrachte eine Urne, die sowohl n rote, von 1 bis n nummerierte Kugeln, als auch m schwarze
Kugeln („Ausschuss“) enthält. Man zieht aus dieser Urne mit Zurücklegen so lange, bis jede rote
Kugel mindestens einmal gezogen wurde. Es sei X die Anzahl dieser Ziehungen. Bestimme EX.
Hinweis: Stelle X als eine Summe von passenden Zufallsvariablen dar.
Aufgabe 6
Seien X1 und X2 unabhängige Zufallsvariablen mit X1 ∼ Geo(p1 ) und X2 ∼ Geo(p2 ), wobei
p1 6= p2 . Zeige, dass
P (X1 + X2 = k) =
p1 · p2 (1 − p2 )k−1 − (1 − p1 )k−1 ,
p1 − p2
für alle k ≥ 2.
Aufgabe 7
Seien X1 und X2 unabhängige Zufallsvariablen mit X1 ∼ P oi(λ1 ) und X2 ∼ P oi(λ2 ), wobei
λ1 , λ2 > 0. Zeige, dass
(λ1 + λ2 )k −(λ1 +λ2 )
P (X1 + X2 = k) =
,
·e
k!
für alle k ∈ N0 , d.h. die Summe zweier unabhängiger Poisson verteilter Zufallsvariablen ist wieder
Poisson verteilt.
Aufgabe 8
Sei X1 , . . . , Xn eine Zufallsstichprobe zur Verteilung F und Sn2 die Stichprobenvarianz. Zeige,
dass dann
E(Sn2 ) = σ 2
Aufgabe 9
Sei X1 , . . . , Xn eine Zufallsstichprobe zur Verteilung F ∈ {P oi(λ); λ > 0}. Bestimme einen
Maximum-Likelihood Schätzer für den Parameter λ.
Aufgabe 10
Sei X1 , X2 , . . . eine Folge von unabhängigen Münzwürfen, d.h. P (Xn = 1) = p und P (Xn =
−1) = 1 − p für alle n ∈ N, wobei p ∈ [0, 1] gelte. Sei a > 0 das Startkapital und e1 > 0
der Einsatz vor dem ersten Wurf. Für n ≥ 2 definieren wir en = Cn−1 (X1 , . . . , Xn−1 ) für eine
Funktion Cn−1 : {0, 1} → R+ (Einsatz vor dem n-ten Wurf). Unser Kapital nach n Würfen sei
dann gegeben durch Sn = Sn−1 + Xn · Cn−1 (X1 , . . . , Xn−1 ), falls n ≥ 2 und S1 = a + X1 · e1 .
Mit anderen Worten: Am Anfang wetten wir um einen Betrag von e1 , dass 1 fällt. Sollte dies
passieren, bezahlt uns die Bank e1 aus. Andernfalls müssen wir der Bank den Betrag von e1
bezahlen, d.h. unser Startkapital a vermindert sich um den Betrag e1 . Im n-ten Spiel wetten wir
um einen Betrag von Cn−1 (X1 , . . . , Xn−1 ). Fällt eine 1, so bezahlt uns die Bank diesen Betrag
aus. Andernfalls müssen wir diesen Betrag an die Bank bezahlen. Unser Kapital nach dem n-ten
Wurf ist also gerade das Kapital Sn−1 bis zum n-ten Wurf plus oder minus unserem Wetteinsatz
beim n-ten Wurf (je nachdem ob 1 oder -1 fällt).
Für welchen Wert von p ist dieses Spiel fair, d.h. wann ist E(Sn − a) = 0 für alle n ∈ N?1
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Es darf verwendet werden, dass gilt: X, Y unabhängig ⇒ E(XY ) = EX · EY .
Außerdem sind Xn und en unabhängig.