Sätze zur Teilbarkeitslehre der ganzen Zahlen

Vorlesung Algebra / Zahlentheorie, Dr. Anna v. Pippich
HU Berlin, SoSe 2013
Sätze zur Teilbarkeitslehre der ganzen Zahlen
Die folgenden Aussagen lassen sich direkt vom Bereich der natürlichen auf den Bereich
der ganzen Zahlen übertragen.
Satz (Division mit Rest, revisited). Es seien a, b ganze Zahlen mit b 6= 0. Dann
finden sich eindeutig bestimmte ganze Zahlen q, r mit 0 ≤ r < |b|, so dass die Gleichung
a=q·b+r
besteht.
Satz (Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie, revisited). Jede von Null
verschiedene ganze Zahl a besitzt eine Darstellung der Form
a = e · pa11 · . . . · par r
als Produkt von e ∈ {±1} mit einem Produkt von r (r ∈ N) Primzahlpotenzen zu den
paarweise verschiedenen Primzahlen p1 , . . . , pr mit den positiven, natürlichen Exponenten
a1 , . . . , ar . Diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig.
Lemma (Euklidisches Lemma, revisited). Es seien a, b ganze Zahlen und p eine
Primzahl. Gilt dann p | a · b, so folgt p | a oder p | b.
Bemerkung. Als wesentlicher Unterschied zwischen der Teilbarkeitslehre der natürlichen
und der ganzen Zahlen kann der Umstand angesehen werden, dass es im Bereich der ganzen Zahlen möglich ist, das Euklidische Lemma als Vorbereitung und Hilfsmittel für den
Beweis des Fundamentalsatzes der elementaren Zahlentheorie bereitzustellen, im Gegensatz zum Vorgehen im Bereich der natürlichen Zahlen, wo das Euklidische Lemma erst
als Folgerung aus dem Fundamentalsatz geschlossen werden konnte.