Stoffplan Zahlentheorie, Stand 26.1.2007. Natürliche Zahlen. Peano

Department Mathematik
Schwerpunkt Algebra und Zahlentheorie
Prof. Dr. Ulf Kühn
Stoffplan Zahlentheorie, Stand 26.1.2007.
Natürliche Zahlen. Peano Axiome, Rechenregeln von Addition und Multiplikation, natürliche Ordnungsrelation, Satz vom kleinsten Element, ganze Zahlen.
Teilbarkeit und Primzahlen. Euklid, Fundamentalsatz der Arithmetik, Mersenne Primzahlen, Fermat Primzahlen, vollkommene Zahlen, abc-Vermutung, Goldbach Vermutungen, Primzahllücken, Primzahlverteilung, Primzahlzwillinge, Riemann’sche Vermutung.
Ganze Zahlen. Konstruktion von Z, Division mit Rest, Euklidischer Algorithmus, größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches, Ideal, Lemma von Euklid,
ax + by = c.
Multiplikative Funktionen. Eulersche Phi-Funktion, Teilersummen, Moebius Inversion, Faltung, Eulerprodukte, summatorische Funktionen, Wahrscheinlichkeit für Teilerfremdheit und für Quadratfreiheit.
Kongruenzen. Teilbarkeitsregeln, Lösbarkeitskriterien, Kongruenzrelation, Rechengesetze, Restklassenring Z/mZ, Einheiten Z/mZ∗ , Nullteiler, ax ≡ c mod m, Chinesischer
Restsatz, Potenzfolgen, Satz von Euler-Fermat, Primzahltests, Carmichael-Zahlen, RSA,
Satz von Wilson, Lösungsanzahlfunktion, Primitivwurzeln, Satz von Gauss, n-te Potenzreste, quadr. Reziprozitätsgesetz.
Diophantische Gleichungen. Kongruenzkriterien, Phytaogräische Tripel, unendlicher
Abstieg, Satz von Legendre, Hasse Prinzip, Satz von Germain, Fermat Gleichung 3.-ten
Grades, Approximationsätze von Dirichlet und Lioville, Pell’sche Gleichung.
Quadratische Zahlkörper. alg. Zahlentheorie, Ganzheitsring, Einheiten, Primidealzerlegung, Idealklassen, Klassenzahl
Literatur:
P. Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie, Springer-Verlag
K. Ireland, M. Rosen: A Classical Introduction to Modern Number Theory,Springer-Verlag
J. Wolfart: Einführung in die Zahlentheorie und Algebra, Vieweg Verlag
www.numbertheory.org/ntw/lecture_notes.html: Vorlesungsskripte z.B. Bruns,...
F. Lemmermeyer: Vorlesungsskript, www.fen.bilkent.edu.tr/˜franz/lect/ncp.pdf
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