1. Teilbarkeit und Primzahlen 2. Verteilung der Primzahlen 3

Themen der Vorlesung Elementare Zahlentheorie
Sommersemester 2001, PD Dr. Peter Müller
1. Teilbarkeit und Primzahlen
Begriff der Primzahlen, Beweis deren Unendlichkeit, Teilbarkeit in Z, Division mit Rest, Z-lineare Kombinierbarkeit des größten gemeinsamen Teilers
als wichtiges Beweisprinzip, Äquivalenz der Primeigenschaft und Irreduzibilität in Z, Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. ([IR90], [RU87], [Mat92],
[Wol96].)
2. Verteilung der Primzahlen
Vielfachheit des Primfaktors p in n!, (abgeschwächte) Ungleichung von Chebychev der Anzahlfunktion π(n) der Primzahlen bis n:
C1
n
n
≤ π(n) ≤ C2
,
log n
log n
mit C1 = log2 2 und C2 = 24 log 2. (Variante von [Leu96, Abschnitt 2.2] und
[Bun98, 7.§2].)
3. Kongruenzen und Restklassenringe
Regeln der Kongruenzrechnung, Lösbarkeit von ax = b in Z/nZ, Einheitengruppen, Eulersche ϕ-Funktion, aϕ(n) ≡ 1 (n) für ggT (a, n) = 1 und kleiner
Fermatscher Satz. ([IR90], [RU87], [Mat92], [Wol96].)
4. Chinesischer Restsatz
Simultane Lösungbarkeit von endlich vielen Kongruenzen nach paarweise
teilerfremden Moduln, Rückführung der Struktur der Einheitengruppe von
Z/nZ auf die von Z/pk Z für p ∈ P. ([Fre84], [IR90, 3.§4], [Mat92], [Bun98,
2.§2].)
5. Einheitengruppen und Primitivwurzeln
Zyklizität von (Z/pZ)× , Primitivwurzeln, Struktur der Einheitengruppe von
Z/pk Z. ([Fre84], [IR90, Chapter 4], [Mat92], [Bun98, 2.§2].)
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6. Ein Satz von Chevalley-Warning
Satz (Warning): Sei f (X) ∈ Fp [X] ein Polynom in n Variablen
vom Totalgrad < n, dann ist die Anzahl der x ∈ Fnp mit f (x) = 0
durch p teilbar.
Korollar (Chevalley): Sei f (X) ∈ Fp [X] ein nicht konstantes homogenes Polynom in n Variablen vom Grad < n. Dann gibt es
0 6= x ∈ Fnp mit f (x) = 0. ([IR90, 10.§2], [Mat92].)
7. Quadratische Reste
Legendre Symbol, Euler-Kriterium, Reziprozitätsgesetz mit Ergänzungssätzen,
Satz von Vinogradov-Polya: 2 6= p ∈ P, m ≤ n ganzzahlig, dann ist
n X
k
√
|
| ≤ p log p.
p
k=m
([IR90, Chapter 5], Beweis des Reziprozitätsgesetz mit Ergänzungssätzen
nach [Neu92, Kapitel I,§8.6], Vinogradov-Polya siehe [Ste94, Kapitel 2.1].)
8. RSA-Verschlüsselung, Primzahltests, etc.
Das RSA-Verfahren zur verschlüsselten Nachrichtenübertragung mit öffentlichen Schlüsseln, Verfeinerung des RSA-Verfahrens mit zusätzlicher Authentizierung, Carmichael Zahlen, Jacobi Symbol, Reziprozitätsgesetz und
Ergänzungssätze für das Jacobi Symbol, Primzahltest von Solovay-Strassen.
([Mat92], [Wol96]. Zum RSA-Verfahren siehe [CP01, Chapter 8.1].)
9. Quadratsummen
Beschreibung der n ∈ N, die Summe zweier Quadrate sind, der Vierquadratesatz von Lagrange. ([Bun98], [HW58].)
10. Pythagoräische Tripel
Ganzzahlige Lösungen von X 2 + Y 2 = Z 2 , Unlösbarkeit der Fermatgleichung
für Exponent 4. ([IR90], [Wol96].)
11. Die Pellsche Gleichung
Dirichletscher Approximationssatz, Beschreibung der ganzzahligen Lösungsmenge von X 2 − dY 2 = 1. ([Bun98], [IR90].)
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12. Die ABC-Vermutung
Die ABC-Vermutung für ganze Zahlen, und ihre Auswirkungen auf das
(mittlerweile gelöste) Fermat Problem, Beweis des Analogons der ABCVermutung für Polynome (Satz von Stothers-Mason), die Fermat Gleichung
für Polynome. (Siehe http://www.math.unicaen.fr/˜nitaj/abc.html.)
13. Algebraische und transzendente Zahlen
Algebraische Zahlen, Abzählbarkeit, Überabzählbarkeit der reellen Zahlen,
Satz von Liouville über schlechte rationale Approximierbarkeit algebraischer
Zahlen vom Grad n ≥ 2, Anwendung auf Transzendenznachweis
von besonP∞ 1
ders gut rational approximierbaren Zahlen wie etwa k=1 2k! , Irrationalität
von π und π 2 (nach Niven), Transzendenz der Eulerschen Zahl e, Transzendenz von π erwähnt, aber nicht bewiesen (erfordert einige Hilfsmittel der
Algebra). ([HW58], [IR90].)
14. Quadratische Kurven über Q
Rationale Punkte auf quadratischen Kurven, die Methode von Diophant
(wenn man schon einen Punkt kennt), Rückführung der Frage der Existenz
von rationalen Punkten auf nicht-triviale ganzzahlige Lösbarkeit von aX 2 +
bY 2 − cZ 2 = 0, mit a, b, c ∈ N quadratfrei und paarweise teilerfremd, notwendiges und hinreichendes Kriterium von Legendre für Lösbarkeit. (Siehe
[Ste94].)
15. Quadratische Körper I
Hauptordnungen (= ganze Zahlen in Zahlkörpern), Einheiten. ([Bun98], [IR90],
[Mat92].)
16. Euklidische Ringe und Ideale
Teilbarkeit in nullteilerfreien, kommutativen Ringen mit 1. Euklidische Ringe
sind Hauptidealringe, Hauptidealringe sind faktoriell. ([Bun98], [IR90].)
17. Quadratische Körper II
Beispiele von faktoriellen Hauptordnungen quadratischer Zahlkörper, durch
Nachweis der Euklidizität. ([Bun98], [IR90].)
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Literatur
[Bun98] P. Bundschuh, Einführung in die Zahlentheorie, Springer-Verlag,
Berlin (1998).
[CP01] R. Crandall, C. Pomerance, Prime numbers, Springer-Verlag, New
York (2001), A computational perspective.
[Fre84] G. Frey, Elementare Zahlentheorie, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig (1984).
[HW58] G. H. Hardy, E. M. Wright, Einführung in die Zahlentheorie, R.
Oldenbourg, Münich (1958).
[IR90]
K. Ireland, M. Rosen, A classical introduction to modern number
theory, Springer-Verlag, New York, 2nd edn. (1990).
[Leu96] A. Leutbecher, Zahlentheorie, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg
(1996).
[Mat92] B. H. Matzat, Elementare Zahlentheorie, http://mathphys.fsk.uniheidelberg.de/skripte/skripte zahlentheorie.html.
[Neu92] J. Neukirch, Algebraische Zahlentheorie, Springer-Verlag, Berlin
Heidelberg (1992).
[RU87] R. Remmert, P. Ullrich, Elementare Zahlentheorie, Birkhäuser Verlag, Basel (1987).
[Ste94] S. A. Stepanov, Arithmetic of algebraic curves, Consultants Bureau,
New York (1994).
[Wol96] J. Wolfart, Einführung in die Zahlentheorie und Algebra, Vieweg,
Braunschweig (1996).
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