Aufgaben zur Zahlentheorie (Teil 1) Aufgabe 1: Zeigen Sie mit

Prof. Dr. Timm Sigg
Zahlentheorie Teil 1
Aufgaben zur Zahlentheorie (Teil 1)
Aufgabe 1:
Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen 𝑛 die Zahl 7𝑛 − 1 ein
Vielfaches von 6 ist!
Aufgabe 2:
Die Fibonaccifolge 𝑓𝑛 lässt sich wie folgt definieren:
𝑓𝑛+2 = 𝑓𝑛+1 + 𝑓𝑛 für 𝑛 ≥ 0,
𝑓0 = 1, 𝑓1 = 1.
Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen 𝑛 die Gleichung
𝑓0 + 𝑓2 + 𝑓4 + ⋯ + 𝑓2𝑛 = 𝑓2𝑛+1
gilt!
Aufgabe 3:
Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen 𝑛 die Gleichung
1 ⋅ 21 + 2 ⋅ 22 + 3 ⋅ 23 + ⋯ + 𝑛 ⋅ 2𝑛 = (𝑛 − 1)2𝑛+1 + 2
gilt!
Aufgabe 4:
Berechnen Sie!
a) 173 𝑚𝑜𝑑 6
b) (267 − 21557) 𝑚𝑜𝑑 4
c) 𝑛3 𝑚𝑜𝑑 𝑛2 für 𝑛 ∈ ℤ
d) (𝑛2 + 1) 𝑚𝑜𝑑 (𝑛 + 1) für 𝑛 ≥ 2
e) (𝑛 + 1) 𝑚𝑜𝑑 (𝑛 + 2) für 𝑛 ≥ 0
Aufgabe 5:
Berechnen Sie!
a) 473 𝑚𝑜𝑑 5
b) 333 𝑚𝑜𝑑 10
c) 256 𝑚𝑜𝑑 40
Aufgabe 6:
Geben Sie (wenn vorhanden) die Inverse von
a) 5 bezüglich des Moduls 12
b) 24 bezüglich des Moduls 75
c) 73 bezüglich des Moduls 27
an!