Analysis 1: Übungsblatt 2

Analysis 1
WS 2017/18
NAWI Graz
19. Oktober 2017
Übungsblatt 2
Aufgabe 1
(a) Es sei q 6= 1. Beweisen Sie mittels Induktion für n ∈ N0 :
n
X
1 − q n+1
q =
.
1−q
k =0
k
(b) Finden Sie eine nur von m P
∈ N abhängige Formel für die Summe der ersten m
ungeraden Zahlen, d.h. für m
j =1 (2j −1). Beweisen Sie die Formel per Induktion.
Aufgabe 2 Für n ∈ N0 bezeichne Fn die n-te Fibonacci-Zahl, wobei wie üblich
F0 := 0 und F1 := 1 gesetzt wird. Zeigen Sie durch Induktion:
(a) Für alle n ∈ N0 gilt:
Fn+2 = 1 +
n
X
Fk .
k =0
(b) Für alle m ∈ N gilt:
m−2
3
≤ Fm ≤ 2m−1 .
2
(c) Für alle k ∈ N gilt:
k
X
Fi2 = Fk Fk +1 .
i=1
Aufgabe 3
(a) Beweisen Sie, dass für alle n ∈ N gilt:
n X
2n
k =0
2k
n X
2n
=
.
2k
−
1
k =1
(b) Zeigen Sie mit Hilfe von (a) auf zwei verschiedene Arten die Aussage
∀n ∈ N :
n X
2n
k =0
2k
n X
2n
=
= 22n−1 ,
2k − 1
k =1
nämlich (i) durch Induktion, (ii) durch Verwendung des binomischen Lehrsatzes.
Hinweis: Versuchen Sie, vorkommende Binomialkoeffizienten als Summe von kleineren Binomialkoeffizienten auszudrücken.
Aufgabe 4 Grundaufgabe der Bose-Einstein-Statistik: Auf n Zellen sollen k nicht
unterscheidbare Teilchen verteilt werden, wobeijede Zelle beliebig viele Teilchen aufnehmen kann. Zeigen Sie, dass es genau n+kk −1 verschiedene Verteilungen gibt.
Hinweis: Kennzeichnen Sie die Teilchen mit • und die Zellwände
mit
suchen
| und
Pk
n+j −1
n+(k +1)−1
=
.
Sie alle Muster | • ||| • · · · • | • |. Verwenden Sie bei Bedarf j =0
j
k
Aufgabe 5 Geben Sie die Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen in R an:
(a)
3x − 7
3x + 2
<
,
x +1
x −4
(b)
|x + 2| < |x − 5| .