Vollständige Induktion - Institut für Mathematik

Fachschaft Mathematik
Institut für Mathematik
Humboldt-Universität zu Berlin
Warm-Up
WS 2015/16
Hausaufgaben
zur Vorlesung
Vollständige Induktion
1. Beweist folgende Formeln (zu beweisen ist nur die Gleichheit mit dem !“-Zeichen ):
”
Pn
! n(n+9)
a) 5 + 6 + 7 + 8 + · · · + (4 + n) = i=1 (4 + i) =
2
b) 1 + 3 + 9 + · · · + 3n−1 =
n−1
P
! 3n −1
2
3i =
i=0
c) 13 + 23 + 33 + · · · + n3 =
n
P
!
i3 =
i=1
(n+1)n
2
2
2. Findet für die folgenden Reihen, durch betrachten der ersten Glieder ein explizite und summenzeichenfreie Formel und beweist diese dann induktiv.
Pn
a) an := 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = i=1 (2i − 1)
Pn−1
b) bn := 1 + 2 + 4 + · · · + 2n−1 = i=0 2i
3. Beweist folgende Ungleichungen.
a) n2 < 2n für 5 ≤ n
b)
4n
n+1
≤
(2n)!
(n!)2
c) n + 1 ≤ xn + xn−2 + · · · +
1
xn−2
+
1
xn
=
Pn
i=0
x2i−n für x > 0
4. Eine Zahlenfolge (xn )n∈N sei durch das rekursive Bildungsgesetz
1
n3
n
+
x2n −
+1
xn+1 =
3
n
3
und ihr Anfangsglied x1 = 1 gegeben. Bestimme x2010 .
(Hinweis: Versuche wie in Aufgabe 2 eine Formel für xn zu vermuten und diese dann per Induktion
zu beweisen.)
5. Es sei (an )n∈N eine arithmetische Folge (also die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder
konstant). Ferner seien die Folgen (sn )n∈N und (tn )n∈N definiert durch:
sn :=
n
X
ai ,
i=1
tn :=
n
X
si
i=1
a) Man berechne das Anfangsglied a1 sowie die Konstante d = an+1 − an , wenn bekannt ist, dass
s4 = 4 und t4 = 15 gilt.
b) Man beweise dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:
n(n + 1)
n−1
tn =
a1 +
d
2
3
1