Analysis 1 - Universität Bonn

Prof. Dr. B. Niethammer
Dr. C. Seis, R. Schubert
Institut für Angewandte Mathematik
Universität Bonn
Analysis 1
Übungsblatt 1 – Vollständige Induktion
Aufgabe 1
Zeigen Sie
Pn
n(n+1)(2n+1)
2
a)
für alle n ∈ N.
k=1 k =
6
Pn
1
n
b)
k=1 k(k+1) = n+1 für alle n ∈ N.
Aufgabe 2
a) Zeigen Sie
Pn
k=0
m+k
k
=
m+n+1
n
für alle m, n ∈ N0 .
b) Beweisen Sie, dass für alle n ∈ N, n ≥ 4 gilt: n! ≥ 2n . Skizzieren Sie die Graphen der
Abbildungen f1 , f2 , f3 : N → N : f1 (n) = n2 , f2 (n) = 2n , f3 (n) = n! für n ≤ 7.
Aufgabe 3
In der Vorlesung wurden die Fibonacci-Zahlen Fn , n ≥ 0 eingeführt. Sie sind rekursiv definiert
durch Fn+1 = Fn + Fn−1 mit F0 = 0 und F1 = 1.
Zeigen Sie
a) Fn+1 =
Pn
i=0
n−i
i
.
n
Hinweis: Sie wissen aus der Vorlesung dass nk + k+1
=
√
√
b) Fn = √15 (an − bn ) mit a = 12 (1 + 5), b = 12 (1 − 5).
n+1
k+1
.
Hinweis: a und b sind die Lösungen der quadratischen Gleichung x2 − x − 1 = 0.
Aufgabe 4
Beweisen Sie für reelle Zahlen a, b und n ∈ N die folgende Formel:
an+1 − bn+1 = (a − b)
n
X
ai bn−i .
i=0
Hinweis: Sie können den Beweis per Induktion führen oder ein Resultat aus der Vorlesung
benutzen. Letztere Vorgehensweise ist etwas eleganter.
Aufgabe 5
Es seien a1 , . . . , an positive Zahlen. Beweisen Sie, dass die Ungleichung
2
n ≤
n
X
i=1
n
X
1
ai
ai
i=1
für alle n ≥ 1 gilt. Wann gilt Gleichheit?
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass a +
1
a
≥ 2 für alle positiven Zahlen a gilt.
Aufgabe 6*
Beweisen Sie, ohne Induktion zu benutzen, die folgende Aussage aus der Vorlesung:
P
n+1
Für alle n ≥ 1 und x 6= 1 gilt ni=0 xi = 1−x
1−x .
Falls nicht anders angegeben, gibt es für alle Aufgaben auf diesem und allen folgenden Aufgabenblättern 8 Punkte. Die Bearbeitung der ∗-Aufgaben ist freiwillig. Durch korrekte Bearbeitung
können jeweils noch 8 Zusatzpunkte erworben werden.
Bitte schreiben Sie die Nummer Ihrer Übungsgruppe deutlich erkennbar auf die erste Seite Ihrer
Lösungen. Falls Sie mehrere Blätter abgeben, heften Sie diese bitte mit einer Heftklammer (nicht
Büroklammer) zusammen. Geänderte Abgaberegelung: Die Lösungen sind Dienstags
oder Mittwochs (je nach Übungsgruppe) in den Tutorien abzugeben.
Abgabe: Dienstag (25.10.) oder Mittwoch (26.10.) in der Übungsgruppe
https://www.iam.uni-bonn.de/pde/teaching/analysis-1-ws16/