Blatt 5

Analysis I
Wintersemester 2016/17
Schüth
Übungsblatt 5
Abgabe am 28.11.2016 zu Beginn der Vorlesung
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Abgabe möglichst in Zweierteams! (oder einzeln)
Bitte verschiedene Aufgaben getrennt abgeben! Pro einzelner Aufgabe Blätter tackern!
Bitte die Namen (Zweierteam: beide!) zu jeder Aufgabe oben angeben!
Bitte auch Rückgabe-Übungsgruppe oben angeben: “Gruppe x” mit x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}!
(6 Punkte)
Aufgabe 13.
Berechnen Sie die Grenzwerte der Folgen (xn ), wobei xn wie folgt definiert sei:
1+2+...+n
(a) xn :=
n2
(n + 1)2
(b) xn :=
n(n + 2)
n + 3n
(c) xn :=
3 + 2n + 5 · 3n
Tipp: Argumentieren Sie hier nicht mit der Definition von Grenzwerten, sondern benutzen
Sie gewisse in der Vorlesung schon erwähnte Grenzwerte und Rechenregeln.
(Weitere Tipps: Summenformel (zu (a)) und xy = x/z
y/z )
(6 Punkte)
Aufgabe 14.
Seien c, b > 0 mit b 6= bc . Zwei Folgen (an )n∈N0 und (bn )n∈N0 seien rekursiv definiert durch
n−1
, an := bcn . Beweisen Sie:
b0 := b, a0 := bc , und für n ∈ N: bn := an−1 +b
2
√
(a) an < c < bn für alle n ∈ N.
√
0
> a0 b0 .)
(Tipps: Vollständige Induktion; wegen Aufgabe 8(a) ist a0 +b
2
(b) Für jedes n ∈ N gilt bn+1 ≤ bn und an+1 ≥ an (insbesondere ist [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ . . .
1
eine Intervallschachtelung); für jedes n ∈ N gilt außerdem bn − an ≤ 2n−1
· (b1 − a1 ).
\
√
[an , bn ]. (Tipp: Beweis per Widerspruch)
(c) c ist das einzige Element von
n∈N
(6 Punkte)
√
√
(a) Beweisen Sie: Sind m, n ∈ N, so ist n m ganzzahlig oder irrational. (Tipp: Sei n m = pq
mit teilerfremden Zahlen p, q ∈ N. Folgern Sie q = 1 mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.)
Aufgabe 15.
(b) In der Vorlesung wurde die Dichtheit von Q in R bewiesen. Beweisen Sie, dass auch
R \ Q dicht in R ist, d.h. dass gilt:
Zu allen x, y ∈ R mit x < y gibt es z ∈ R \ Q mit x < z < y.