Blatt III

Analysis I
WS 2016/2017
Vorlesung: Prof. Yu. Kondratiev
Übungen: Dr. O. Kutovyi
Blatt III
Abgabe bis 10.11.16, 16:00
In Aufgaben 14-17 dürfen nur die Axiomen von R und deren Folgerungen aus
Vorlesung benutzt werden. Alle anderen Aussagen müssen bewiesen werden.
Aufgabe 13 (3 Punkten) Für je zwei Mengen A, B mit B ⊂ A ist die folgende
Operation ‘−’ definiert:
A − B := A \ B,
die monotone Differenz heißt. (Ist B keine Teilmenge von A, so ist A − B nicht
definiert, obwohl A\B doch sinnvoll ist). Sei X eine Grundmenge. Zeigen Sie, wie
die Vereinigung A ∪ B zweier Teilmengen A, B ⊂ X sich aus der Mengen A, B, X
durch die Operationen ‘∩’ und ‘−’ ergibt.
Aufgabe 14 (2 Punkten) Beweisen Sie die folgenden Identitäten für reellen a, b.
(a) − (a + b) = −a − b.
(b) (ab)−1 = a−1 b−1 falls a, b 6= 0.
Aufgabe 15 (2 Punkten) Beweisen Sie die folgenden Identitäten für beliebigen
reellen Zahlen a, b, c, d mit b, d 6= 0.
(a)
ax
a
=
für alle x 6= 0
b
bx
(b)
ad + bc
a c
+ =
b d
bd
Aufgabe 16 (2 Punkten) Für jedes x ∈ R definieren wir den Betrag |x| durch
x,
falls x ≥ 0,
|x| =
−x, falls x < 0.
Beweisen Sie die folgenden Eigenschaften des Betrages.
(a) |x + y| ≥ ||x| − |y||
(b) xy = |x|
falls y 6= 0.
|y|
Seite 1
Analysis I
Vorlesung: Prof. Yu. Kondratiev
WS 2016/2017
Übungen: Dr. O. Kutovyi
Aufgabe 17 (3 Punkten) Seien X und Y zwei nichtleere Teilmengen von R mit
der Eigenschaft, dass x ≤ y für alle x ∈ X und y ∈ Y gilt. Nach dem Vollständigkeitsaxiom existiert eine Zahl c ∈ R die X und Y trennt, d.h. x ≤ c ≤ y für alle
x ∈ X and y ∈ Y . Zusätzlich nehmen wir folgendes an: für jedes ε > 0 existieren
x ∈ X und y ∈ Y mit y − x < ε. Beweisen Sie, dass die Zahl c, die X und Y
trennt, eindeutig bestimmt ist.
Seite 2