6. ¨Ubung zur Analysis I

Julius-Maximilians-Universität Würzburg
Mathematisches Institut
Prof. Dr. H. Pabel
PD Dr. Oliver Roth, Dr. Daniela Kraus, Ralf Winkler
Würzburg, den 30. November 2005
6. Übung zur Analysis I
Wintersemester 2005/06
21.) Für n ∈
sei n! := n · (n − 1) · . . . · 2 · 1. Ferner sei 0! := 1. Für α ∈
und n ∈
(verallgemeinerte) Binomialkoeffizient α
n erklärt durch
n−1
α
1 Y
α
:= 1 und für n ∈
(α − k) .
:=
0
n!
n
0
werde der
k=0
a.) Beweisen Sie das Additionstheorem
α
α
α+1
.
+
=
n−1
n
n
b.) Zeigen Sie speziell für m ∈ 0 und m ≥ n die Darstellung m
n =
für a, b ∈ , n ∈ die binomische Formel:
n X
n k n−k
n
a b
.
(a + b) =
k
m!
n!(m−n)!
und beweisen Sie
k=0
22.)
, k ≥ 2 und 0 < x < 1 die Ungleichung
a.) Zeigen Sie für k ∈
(1 − x)k > 1 − kx .
b.) Zeigen Sie für q ∈
und n ∈
die geometrische Summenformel:
n−1
X
(1 − q) ·
qk = 1 − qn .
k=0
23.)
a.) Zeigen Sie: Eine Teilmenge M ⊂ n ist genau dann offen, wenn es zu jedem x ∈ M ein > 0
gibt mit U (x) ⊂ M .
b.) Beweisen Sie: Sind A1 , . . . , An offene Teilmengen von , so ist auch A1 × . . . × An offen in n .
c.) Welche der folgenden Teilmengen von sind offen oder abgeschlossen?
∞ [
1
1
M1 =
M2 =
M3 =
.
,
n+1 n
n=1
Hinweis: Zeigen Sie vor der Untersuchung von M2 : Zu zwei Zahlen p1 , p2 ∈
es eine Zahl a ∈ \ mit p1 < a < p2 .
, p1 < p2 gibt
24.) Es sei X ein normierter Raum. Beweisen Sie:
a.) Sei K ⊂ X kompakt. Dann ist K beschränkt.
b.) Es sei W ⊂ X kompakt und K ⊂ W abgeschlossen. Dann ist K kompakt.
Abgabe der schriftlichen Lösungen bis spätestens Mittwoch, den 07. Dezember, 12:00 Uhr, in die
richtigen Briefkästen neben der Mathe/Info-Teilbibliothek.
Bitte beachten: Fragestunden zur Analysis: Dienstag 16:00-16:45, 17:00-17:45 im SE36