1 Binomial Koeffizienten 2 Rechnen mit Teilmengen 3 Rationale

1
Binomial Koeffizienten
Aufgabe 1
Berechnen Sie die folgenden Binomialkoeffizienten:
13
10
13
a)
b)
c)
4
5
11
Aufgabe 2
Beweisen Sie:
a) ∀n, k ∈ N0 , k ≤ n :
b) ∀n, k ∈ N0 , k ≤ n :
n!
n
=
k
k! (n − k)!
n
n
=
n−k
k
c) ∀n, k ∈ N0 , k ≤ n :
n
n
n+1
k + k+1 = k+1
d) ∀n, k ∈ N0 , k ≤ n :
n−1 X
i
n
=
k
k+1
i=0
Welchen Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks entsprechen b), c) und d)?
2
Rechnen mit Teilmengen
Aufgabe 3
Wieviele k-elementige Teilmengen besitzt eine n-elementige Menge? (Beweis durch vollständige
Induktion)
Aufgabe 4
Beweisen Sie mit Hilfe von Aufgabe 3
oder mit Hilfe der binomischen Formel, daß
3
n
n
k=0 k = 2 .
Pn
Rationale Zahlen
Aufgabe 5
Beweisen Sie daß es zwischen je zwei rationalen Zahlen a, b mit a < b eine rationale Zahl c gibt,
d.h. a < c < b. Tip: Versuchen Sie’s z.B. mit c = a+b
und zeigen Sie, daß die so konstruierte
2
Zahl c eine rationale Zahl ist.
1