Institut für Informatik

Institut für Informatik
D–06120 Halle (Saale)
Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
Von-Seckendorff-Platz 1
Prof. Dr.habil. K. Reinhardt
Dr. R. Winter
Tel. 0345/55 24770
Tel. 0345/55 24738
0. Übung zum Modul Automaten und Berechenbarkeit“
”
Sommersemester 2017
4./5.4.2017 und 11./12.4.2017
Abgabe: nicht
Wiederholung vom Lehrstoff Mathematische Grundlagen der Informatik“:
”
(0 Punkte)
Aufgabe 1 - Mengen:
Es seien Σ = {a, b}, A = {ε, aa}, B = {a, aba}, C = {b, bb}.
Bestimmen Sie folgende Sprachen:
(a) BA \ AB
(b) ∅A ∪ {ε}B
i
(c) ∪∞
i=1 (B ∪ C)
(d) {ε} Σ∗ \ {ε} {ε}
(0 Punkte)
Aufgabe 2 - Monoid:
∗
∗
Es sei P = Σ × Σ die Menge aller Paare von Wörtern über Σ. Zeigen Sie, dass P mit der durch
(x1 , y1 )(x2 , y2 ) := (x1 x2 , y1 y2 ) definierten komponentenweisen Konkatenation ein Monoid bildet.
(0 Punkte)
Aufgabe 3 - Beweismethoden:
(a) Gegeben sei die Lucas-Folge (ln )n≥1 mit l1 = 1, l2 = 3 und ln+2 = ln + ln+1 für n ≥ 1.
Zeigen Sie durch vollständige Induktion über
P n:
Für beliebige natürliche Zahlen n ≥ 1 gilt: ni=1 li = ln+2 − l2
Lässt sich die Aussage auch ohne vollständige Induktion beweisen?
(b) A∗ sei die Menge aller Wörter über dem endlichen Alphabet A. Es gelte rev(e) = e und rev(w · a) =
a · rev(w) für w ∈ A∗ und a ∈ A.
Durch strukturelle Induktion zeige man:
rev(u · v) = rev(v) · rev(u) für beliebige u, v ∈ A∗ .
(c) Beweisen Sie direkt: 1 + q + · · · + q n =
1−qn+1
1−q
für q 6= 1.
(d) Beweisen Sie den Satz des Pythagoras direkt.
(e) Beweisen Sie durch Kontraposition, dass folgende Aussage richtig ist:
Wenn die letzte Ziffer einer natürlichen Zahl n (im Dezimalsystem) gleich 2, 3, 7 oder 8 ist, dann
”
ist n keine Quadratzahl.“
(f) Beweisen Sie durch Widerspruch, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
(0 Punkte)
Aufgabe 4 - Äquivalenzrelation:
∗
∗
Es seien n, m ≥ 2. Für u = u1 . . . un ∈ {a, b} und v = v1 . . . vm ∈ {a, b} sei u ∼1 v gdw. u1 = v1 und
u2 = v2 .
2
Ist die Relation ∼1 ⊆ ({a, b}∗ ) eine Äquivalenzrelation?
(0 Punkte)
Aufgabe 5 - Homomorphismus, Isomorphismus:
Beweisen oder widerlegen Sie:
(a) f : N\{0} → R mit f (n) = 13 log13 n ist ein Homomorphismus zwischen den Strukturen (N\{0}, ·, <
, 1) und (R, +, ≤, 0).
(b) Für die Menge D = {A| A ⊆ 13N ∧ |A| ∈ N} aller endlichen Mengen durch 13 teilbarer natürlicher
Zahlen ist die Funktion g : D → N mit g(∅) := 13 und
g(A) := Πa∈A a (Produkt aller Zahlen a ∈ A) ein Homomorphismus zwischen den Strukturen
(D, ∪, ∅) und (13N, +, 13).
2
2
(c) Gegeben seien die folgenden Relationen ∼2 ⊆ ({a, b}∗) und ∼3 ⊆ ({c, d}∗ ) :
Für u = u1 . . . un ∈ {a, b}∗ und v = v1 . . . vm ∈ {a, b}∗ sei
u ∼2 v :⇔ u1 = v1 .
Für u = u1 . . . un ∈ {c, d}∗ und v = v1 . . . vm ∈ {c, d}∗ sei
u ∼3 v :⇔ un = vm .
Dann sind die Strukturen ({a, b}∗ , ∼2 ) und ({c, d}∗ , ∼3 ) isomorph.
Aufgabe 6 - isomorphe Strukturen:
(0 Punkte)
Welche der folgenden relationalen Strukturen sind isomorph zueinander? Welche nicht? Geben Sie gegebenenfalls den Isomorphismus an.
(a) G1 = ({0, · · · , 8}, R1 ) mit
R1 = {(a, b)| a, b ∈ {0, · · · , 8} und a + b ist gerade und a 6= b} ∪ {(1, 8), (3, 8), (8, 1), (8, 3)}
(b) G2 = ({0, · · · , 8}, R2 ) mit
R2 = ({0, 1, 2} × {4, 5, 6, 7}) ∪ ({4, 5} × {6, 7, 8})
(c) G3 = ({0, · · · , 8}, R3 ) mit R3 = T ∪ T −1 , wobei T = {(1, 0), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 0),
(2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 0), (3, 5), (3, 7), (4, 0), (4, 6), (4, 8), (5, 0), (5, 7), (6, 8), (7, 0)}
Aufgabe 7 - deterministischer endlicher Automat:
(0 Punkte)
Geben Sie jeweils einen die Sprache erkennenden DFA an.
(a) L1 := {w| w endet auf 000}
(b) L2 := {w enthält eine durch vier teilbare Anzahl Einsen}
Aufgabe 8 - endlicher Automat:
(0 Punkte)
Zeigen Sie, dass die Menge der Binär-Darstellungen der durch drei teilbaren natürlichen Zahlen durch
einen endlichen Automaten akzeptierbar ist.
Die Übungsblätter und weitere Informationen zur Vorlesung bzw. Übung finden Sie unter:
http://nirvana.informatik.uni-halle.de/∼theo/THEOlehre/THEOaktuell.html
Email: [email protected],[email protected]