Mathematische Grundlagen der Informatik - Martin

Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
Fachbereich Mathematik und Informatik
Lehrstuhl für Theoretische Informatik
Prof. Dr. L. Staiger / Dr. R. Winter / M. Lutzemann / R. Polley
Ausgabe: 2009-12-17
Abgabe: 2010-01-21, vor der Vorlesung
Mathematische Grundlagen der Informatik
Bonusserie
Alle Lösungen in sämtlichen Aufgaben sind zu beweisen bzw. zu begründen. Alle in dieser Serie
zu erreichenden Punkte sind Bonuspunkte. Einige der Aufgaben waren in vergangenen Jahren
Klausuraufgaben.
Aufgabe 1 (Punkte: 2)
Beweisen Sie durch
über n, dass für beliebige positive reelle Zahlen
Pn
Qnvollständige Induktion
a1 , a2 , · · · , an aus k=1 ak = 1 stets k=1 ak ≥ n folgt.
Hinweis: Sie dürfen dabei verwenden, dass für a1 < 1, a2 > 1 die Beziehung (1 − a1 )·(a2 − 1) > 0
gilt.
Aufgabe 2 (Punkte: 2)
Gegeben sei die Menge M aller Wörter über dem Alphabet X = {a, b, c}. Die Umkehrung
rev(w · x) eines Wortes w · x mit w ∈ M und x ∈ X sei wie folgt definiert:
rev(e) = e (e ist das leere Wort)
rev(w · x) = x · rev(w) für w ∈ M und x ∈ X.
Beweisen Sie durch strukturelle Induktion über die Struktur von v, dass
rev(w · v) = rev(v) · rev(w) für beliebige Wörter w, v ∈ M gilt.
Aufgabe 3 (Punkte: 2)
Gegeben sei die aussagenlogische Formel
ϕ = ((¬(r ∧ q) → (r ∧ ¬q)) ∨ ¬r) ∧ ((r → q) → ((r → p) → (r → (q ∧ p)))).
Beweisen Sie die Allgemeingültigkeit der Formel ϕ ohne Verwendung einer Wahrheitswerttabelle.
Aufgabe 4 (Punkte: 3)
Gelten für die folgenden Paare aussagenlogischer Formeln (ϕ, ψ) die Relationen ϕ |= ψ oder
ψ |= ϕ? Begründen Sie Ihre Behauptungen.
a)
((p ∨ r) → q, (p → q) ∧ (r → q))
b)
(p ∧ q, (¬r ∧ q) ∨ p)
c)
(p, (q → p) ∧ q)
Aufgabe 5 (Punkte: 5)
Gegeben sei die Menge Φ = {¬q, ¬p ∨ (r → q)}.
a)
Welche der Formeln ¬r ∨ ¬p ∨ (r → q), p ∨ ¬q oder (¬q ∨ r) ∧ p sind aus der Formelmenge
Φ folgerbar?
b)
Geben Sie eine Formel η an, in der p nicht vorkommt, sodass p aus Φ ∪ {η} folgerbar ist.
c)
Finden Sie eine Formel ψ, sodass Φ ∪ {ψ} kein Modell hat.
Aufgabe 6 (Punkte: 3)
Für die Formeln ϕ = (q → r ∨ q) → (¬p → ¬q) und ψ = (q → r) → (q → p ∧ r) zeige man:
a)
ψ ist im Kalkül K (Definition 1.10) aus ϕ ableitbar (beweisbar).
b)
ψ ist aus ϕ folgerbar.
Aufgabe 7 (Punkte: 2+2)
Die Menge 2N aller geraden natürlichen Zahlen bildet mit der Funktion
a , wenn a ≥ b + 1
f (a, b) :=
b , sonst
die Algebra Aa = (2N, f ). Die Menge 2N bildet mit der Mengenvereinigung ∪ die Algebra
Ab = (2N , ∪).
a)
Zeigen Sie, dass beide Algebren Halbgruppen sind. Bestimmen Sie jeweils Null- und Einselemente, sofern diese existieren.
b)
Zeigen Sie, dass die Funktion h : 2N → 2N mit h(n) = {m ∈ N | 1 ≤ m ≤ n} ein
Homomorphismus von der Algebra Aa in die Algebra Ab ist!
Aufgabe 8 (Punkte: 4)
Es sei die Menge E3 = {X | X ⊆ 3N ∧ |X| < ∞} aller endlichen durch 3 teilbaren natürlichen
Zahlen und die Relation R ⊆ E3 × E3 mit
R = {(A, B)| min(A) = min(B) ∧ max(A) = max(B)} mit max(∅) = min(∅) = 0 gegeben.
a)
Beweisen Sie, dass R eine Kongruenzrelation auf der Algebra (E, ∪) ist.
b)
Geben Sie eine Menge mit mindestens 10 Elementen an, die in derselben Äquivalenzklasse
liegt, in der auch die Menge B = {30, 36, 42, 48, 54, 60} liegt.
c)
Zeigen Sie, dass R keine Kongruenzrelation auf der Algebra (E, ∩) ist.
Aufgabe 9 (Punkte: 2)
Beweisen oder widerlegen Sie:
a)
Die relationalen Strukturen (Z, ≤) und (3Z, ≥) sind isomorph.
b)
Es gibt einen Homomorphismus von (2{1,2,3} , ⊆) in ({1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, ≥).
Aufgabe 10 (Punkte: 3)
Zeigen Sie, dass das Komplement jedes nicht zusammenhängenden Graphen zusammenhängend
ist. Gilt auch die Umkehrung dieser Aussage?
Aufgabe 11 (Punkte: 2)
Beweisen Sie, dass die folgende Aussage in jedem zusammenhängenden Graphen G = (V, E)
gilt:
Für jede beliebige Zerlegung der Knotenmenge V in zwei disjunkte nichtleere Mengen V1 und
V2 existieren zwei Knoten a ∈ V1 und b ∈ V2 , sodass {a, b} ∈ E ist.
Mail: {staiger, winter}@informatik.uni-halle.de