10 - Mathematik

Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e. V.
41. Mathematik-Olympiade
4. Stufe (Bundesrunde)
Klasse 10
Aufgaben
1. Tag
Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich
erkennbar in logisch und grammatisch einwandfreien Sätzen dargestellt werden.
Zur Lösungsgewinnung herangezogene Aussagen sind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsgemeinschaften bekannt ist, genügt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt
anzuführen.
411041
Beweisen Sie, dass für jede dreiseitige Pyramide ABCD gilt:
Sind die Dreiecke ABD, ACD und BCD sämtlich bei D rechtwinklig, so ist
die Summe der Quadrate ihrer Flächeninhalte gleich dem Quadrat des Flächeninhalts des Dreiecks ABC. ( Räumliche Version des Satzes von Pythagoras“)
”
411042
Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen n8 − n2 mit
n ∈ {1, 2, 3, . . . }.
411043
Für drei reelle Zahlen a, b, c sei 0 < a < b < c vorausgesetzt.
Beweisen Sie, dass dann gilt:
√
√
√
√
a+ b
b+ c
√
√
<
√ .
√
3
3
a+ 3b
b+ 3c