Freie Universität Berlin - WS 12/13 Analysis I (Calculus I), Übungen

Freie Universität Berlin - WS 12/13
Analysis I (Calculus I), Übungen
Matthias Rehder
Aufgabenblatt-Serie Nr. 02
Bearbeitung und Abgabe bis zum 23. 10. 2012
Lernziele: (A) Vollständige Induktion, Summen und Produkte, Binomialkoeffizient, Pascalsche Dreieck,
(B) Intervalle, Schranken, Supremum, Infimum, Mengenhäufungspunkte, Abzählbarkeit von Mengen,
Satz von Bolzano-Weierstraß für Mengen
Aufgabe 21: [Vollständige Induktion] (10 Punkte)
a) Beweisen Sie folgende Summenformel mit vollständiger Induktion.
Aufgabe 22: [Vollständige Induktion, weitere Beweisaufgaben] (40 Punkte)
a) Bernoullische Ungleichung
Beweisen Sie für
die Gültigkeit der Ungleichung:
b) Fakultätsungleichung
Beweisen Sie: Für alle natürlichen
gilt:
.
c) Schnittpunkte von Geraden in der Ebene
Beweisen Sie: Durch
Geraden in allgemeiner Lage wird die Ebene höchstens in
Teile
zerlegt. Tipp: Jede weitere Gerade zerlegt eine ganz bestimmte Anzahl der schon vorhandenen
Gebiete in zwei Teile.
d) Potenzmengenmächtigkeit
Sei
eine beliebig gewählte Menge und
dass für die Potenzmenge von
folgendes gilt:
die Anzahl der Elemente von . Beweisen Sie,
.
e) Verständnisfrage
Ist es möglich, den Induktionsschluss unendlich oft anzuwenden? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 23: [Blind Date] (5 Punkte)
Matthias ist der einzige Junge bei einem Blind Date. Insgesamt sind 30 Frauen im Alter von 19 bis 24
Jahren anwesend. Matthias will sich insgesamt 5 Frauen nach dem Zufallsprinzip heraussuchen, wobei
er alle Frauen gleich gut findet. Wie viele Möglichkeiten gibt es für Matthias, sich 5 Frauen
herauszusuchen?
Aufgabe 24: [Beweis erbringen] (95 Punkte)
Beweisen Sie folgendes Lemma A mit den Ihnen bekannten Beweisverfahren (u.a. vollständige
Induktion und direkter Beweis)
Lemma E: [Eigenschaften]
1)
ist die Anzahl der Möglichkeiten,
2) ! " ist die Anzahl der
verschiedene Objekte anzuordnen.
elementigen Teilmengen einer
elementigen Menge.
3) Es gelten außerdem die folgenden Formeln a bis h:
a. ! "
!
c. ! "
!
b. ! "
d. !
$
e.
f.
h. &1
4) Ist $
und ! "
#
"
"
!
&
)!
%
,-./
g.
"
0 &1
)2
3
$5
&
)
+
1
!
)'
"
4
"
678
0'
"
! "
($
*
%
für alle $ %
und
(binomische Formel)
0
*1 (
8977 :;<=8;>?@<:>78>A6B B >7?@CB ><&D
)$
D
E -./ *
E*
Aufgabe 25: [Summen- und Produktzeichen, Fehlersuche] (20 Punkte)
Fehlersuche: Analysieren Sie die folgenden Aussagen und kommentieren Sie ggf. auftretende Fehler.
(i)
(ii)
(iii)
Es gilt die folgende Gleichheit für
*
Für alle festen J
und für ein natürliches F mit # G F G
I
*
H
)
H
)
gilt die folgende Ungleichung:
)
HJ
Es gilt die folgende Ungleichung für
KL M N G
)
)
I
)
)
J
und für ein natürliches F mit # G F G :
I
KL M N
)
I
KL M N
)
:
Aufgabe 26: [Summen- und Produktzeichen, vollständige Induktion] (25 Punkte)
a) Aufgabe für 9-Jährige Kinder
Eine Lehrerin, die eine kleine Erholungspause braucht, stellt ihren Schülern der dritten Klasse
der Volksschule die Aufgabe, alle Zahlen von 1 bis 100 aufzusummieren. Lösen Sie diese
Aufgabe innerhalb von 5 Minuten. Verwenden Sie keine numerischen Hilfsmittel, sondern
ausschließlich die auf diesem Aufgabenblatt besprochenen Aspekte.
Hinweis: Einer Anekdote zur Folge hat der junge in Braunschweig geborene Mathematiker
Johann Carl Friedrich Gauß (1777 – 1855) diese Aufgabe als Neunjähriger innerhalb von
wenigen Minuten gelöst. Seien Sie also motiviert, diese Aufgabe noch schneller zu lösen.
b) Vollständige Induktion und Summen
Zeigen Sie die folgende Gleichheit mit vollständiger Induktion.
1
3
O
c) Vollständige Induktion
Zeigen Sie die folgende verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung:
H
$
$
Aufgabe 27: [Summen- und Produktzeichen, vollständige Induktion] (15 Punkte)
Schreiben Sie einen mathematischen Text, in dem Sie mit vollständiger Induktion die folgende Aussage
beweisen: Alle natürlichen Zahlen sind untereinander gleich.
Aufgabe 28: [Eine Pizza wird zerlegt] (20 Punkte)
Jetzt geht es darum, wie wir eine Pizza zerlegen. Die
gewöhnliche Art, eine Pizza zu zerlegen ist es, sie
mit nur vier Schnitten in acht gleiche Teile von der
Form eines Kreissektors zu zerlegen. Wir stellen uns
dabei die Kernfrage, in wie viele Stücke wir eine
Pizza mit
geraden Schnitten maximal zerlegen
können. Schreiben Sie einen mathematischen Text,
indem Sie diese Krenfrage der Maximalzerlegung
beantworten.
Aufgabe 29: [Binomialkoeffizient, Pascalsche Dreieck, binomischer Lehrsatz] (45 Punkte)
a) Alle Zahlen im Pascalschen Dreieck sind offensichtlich natürliche Zahlen. Zeigen Sie mit einem
Induktionsbeweis, dass ! " immer eine natürliche Zahl ist.
b) Geben Sie einen anderen Beweis dafür an, dass ! " immer eine natürliche Zahl ist, indem Sie
zeigen, dass ! " Element von Mengen mit genau
ganzzahligen Werten aus
&
c) Verwenden Sie den binomischen Lehrsatz
zu verifizieren:
1
1 )
!3"
! "
#
! "
)!
PQ ! "
"
*
P
ist.
um folgende Formel
#
d) Finden Sie eine Berechnungsformel für die beiden folgenden Summenbeziehungen. Es ist dabei
eine Formel in der Art &
(arithmetische Summe) gesucht.
;
R
;;
S
R
S
Aufgabe 30: [Summenberechnung] (20 Punkte)
Berechnen Sie die folgenden Summen.
U
T
[T
U
1
0 V
\
WT
03V
_
]T
^TH V
U
X V
))
YT
##
)
a
`TH
0
V
U
X V
Z
Z
bTH
Stellen Sie mithilfe des Summenzeichens folgende Additionen dar. Berechnen Sie diese anschließend.
a)
b) c
c)
e)
X
g) R
c
d)
f) R
X
c
#
P
R
c
c
P
P
R
O
O
#V
P
d
#V
cd
RV
RV
cc
cecc#
P
# V
ceccR
#R.
#e###V
Aufgabe 31: [Dummyvariable und Teilbarkeitsbeweis] (25 Punkte)
a) Beweisen Sie: Für alle natürlichen
b) Zeigen Sie: f
g X
R
*
ist
teilbar durch 7.
ist durch 9 teilbar.
c) Warum gilt die folgende Gleichung?
d) Warum gilt &1
&
1
*
? Aus diesem Grund wird die Summationsvariable 3 (bzw. )
auch eine Dummyvariable genannt.
Aufgabe 32: [Weitere Induktionsbeweise] (20 Punkte)
a) Betrachten Sie für jede natürliche Zahl
G
)
die Zahl
f . Tipp: Betrachten Sie, dass
*
für
P
. Zeigen Sie, dass
und
ist
(dies ist von Ihnen noch zu beweisen).
b) Beweisen Sie mit Induktion nach : Für alle natürlichen Zahlen
P
1
3
P
3
Aufgabe 33: [Supremum und Infimum] (20 Punkte)
Beweisen Sie den folgenden Sachverhalt.
Eine von oben beschränkte nichtleere Menge reeller Zahlen
h6i
hat ein eindeutig bestimmtes Supremum
. Eine von unten beschränkte nichtleere Menge von reellen Zahlen
bestimmtes Infimum ;7?
hat ein eindeutig
.
Aufgabe 34: [Supremum und Infimum] (40 Punkte)
a) Zeigen Sie die Existenz des Infimums ;7?
für den Fall, dass
lediglich nicht negative
Elemente besitzt.
b) In einigen Vorlesungen zur Analysis I wird die Existenz des Supremums mit der
Binärentwicklung gezeigt, so wie Sie es vielleicht in Aufgabe 33 gemacht haben. Geben Sie hier
einen Beweis für die Existenz des Supremums mit Hilfe der Dezimalentwicklung.
c) Beweisen Sie: Das Supremum von
Menge
T j$ i@h;=;k g $ G l.
braucht nicht in
d) Zeigen Sie: Für eine beschränkte Menge
dann, wenn h6i
ein Element von
zu liegen. Tipp: Betrachten Sie die
reeller Zahlen existiert das Maximum B 9m
ist. Für das Maximum gilt das Analogon.
genau
Aufgabe 35: [Mengen, Supremum und Infimum] (24 Punkte)
Welche der folgenden Mengen sind beschränkt? Geben Sie jeweils Supremum und Infimum dieser
Mengen an. (ohne Beweis) In welchen Fällen existiert das Maximum bzw. das Minimum?
n# o
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
j$
g$G l
j
g
s
g
j$
(vi)
(vii)
s
(viii) s
g $ G l
* -
s
(ix)
g
(xi)
(xii)
t
\ Z
\ Z U
Pt
g+
s
(x)
r$G l
g
j$
(v)
l
pq
g
j
s$
p
E*
E*U
t
t
g
t
l
Rt
Aufgabe 36: [Mengen, Supremum und Infimum] (20 Punkte)
Seien
a)
und W nichtleere beschränkte Teilmengen von . Zeigen Sie:
u W ist beschränkt und falls
b) Es gilt: h6i
c) h6i
h6i
d) h6i
h6i
uW
B 9mjh6i
r h6i W falls
h6i W .
q W r B ;7jh6i
q W 5 v ist, dann ist auch
h6i W l
q W beschränkt.
w W. Geben Sie ein Beispiel für eine echte Inklusion, aber
q W G B ;7jh6i
h6i W l, falls
h6i W l gilt.
q W 5 v. Geben Sie ein Beispiel an, für das
Aufgabe 37: [Mengenhäufungspunkte] (10 Punkte)
Bestimmen Sie (ohne Beweis) alle Häufungspunkte, den Limes Superior und den Limes Inferior der
nachfolgenden Mengen, soweit die Letzteren existieren.
a. Das Intervall
c. Die Menge j$
e. Die Menge s
pg#G$G l
Z
_
\ Z U _ a
Pt
b. Die Menge p
d. Die Menge s g
t
Aufgabe 38: [Beweis erbringen, Satz von Bolzano-Weierstraß für Mengen] (16 Punkte)
Beweisen Sie den folgenden Sachverhalt.
Eine unendliche beschränkte Menge
von reellen Zahlen hat einen Häufungspunkt.
Aufgabe 39: [Abzählbarkeit, Beweise erbringen] (20 Punkte)
a) Zeigen Sie: Die Menge
)
x
)
j
g
b) Zeigen Sie: Das Intervall # o ist nicht abzählbar.
)l
ist abzählbar.
Aufgabe 40: [Anwendungsorientierte Aufgaben] (10 Punkte)
a) Svenja Ohm ist sehr schüchtern. Trotz ihrer Zurückhaltung haben sie Kai und Sven innigst in ihr
Herz geschlossen. Ihr einziger Kummer ist, dass Svenja sich nicht ausdrücklich für eine von den
beiden Jungs entscheiden will – sie hat Sorge, sie könne eine der beiden Verehrer verletzen.
Schließlich wird Kai ungeduldig und stellt Svenja – in taktvoller Weise – zur Rede: „Svenja, du
liebst Sven, oder ist das nicht so, dass du Sven oder mich liebst?“ Svenja überlegt einen
Moment, dann sagt sie: „Nein“. Was hat Svenja damit zum Ausdruck gebracht?
b) Studentin Svenja Ohm berichtet in ihrer bekannten zurückhaltenden Art von den Resultaten ihrer
Diplomprüfung:
-
„Ich habe in Analysis I und in Mikroökonomie 1 bestanden, oder es trifft nicht zu, dass ich in
Analysis 1 oder Lineare Algebra 1 bestanden habe.
-
„Es ist unzutreffend, dass ich Analysis 1 bestanden habe oder in Lineare Algebra 1
durchgefallen bin.“
Wie sieht das Ergebnis von Svenjas Prüfung aus?
(*) Zur Bepunktung:
Aufgabe 21: 10 Punkte; Aufgabe 22: 40 Punkte; Aufgabe 23: 5 Punkte;
Aufgabe 24: 95 Punkte;
Aufgabe 25: 20 Punkte; Aufgabe 26: 25 Punkte; Aufgabe 27: 15 Punkte;
Aufgabe 28: 20 Punkte;
Aufgabe 29: 45 Punkte; Aufgabe 30: 20 Punkte; Aufgabe 31: 25 Punkte;
Aufgabe 32: 20 Punkte;
Aufgabe 33: 20 Punkte; Aufgabe 34: 40 Punkte; Aufgabe 35: 24 Punkte;
Aufgabe 36: 20 Punkte;
Aufgabe 37: 10 Punkte; Aufgabe 38: 16 Punkte; Aufgabe 39: 20 Punkte;
Aufgabe 40: 10 Punkte
y 500 Punkte