Vollständige Induktion — Ungleichung

Vollständige Induktion — Ungleichung
Entnommen aus Ü1 Aufgabe 2.3 c
Es gilt herauszufinden, für welche n die Ungleichung 2n > n3 erfüllt ist. Außerdem ist dies
mittels Vollständiger Induktion zu beweisen. Hierzu machen wir erstmal eine Wertetabelle.
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2n
n3
>?
√
2
1
4
8
×
8
27
×
16
64
×
32
125
×
64
216
×
128 343
×
256 512
×
512 729
×
√
1024 1000 √
2048 1331
Wie wir sehen, ist die Ungleichung für n = 1 erfüllt – da gibt es nichts zu beweisen. Jedoch deutet sich an, dass sie auch für n ≥ 10 erfüllt ist. Hier setzen wir mit der Vollständigen
Induktion an.
Aussage: 2n > n3
f ür
n ≥ 10
1. Induktionsanfang:
Der Induktionsanfang ist bereits der Wertetabelle für n = 10 zu entnehmen.
2. Induktionsschritt:
Die Aussage gelte für alle n = 10, ..., m ∈ N. Wir zeigen, dass sie auch für n = m + 1 gültig ist.
3. Induktionsvoraussetzung:
2m > m3
f ür
m ≥ 10
4. Induktionsbehauptung:
2m+1 > (m + 1)3 = m3 + 3m2 + 3m + 1 f ür
m ≥ 10
Den bereits ausgeschriebenen Teil der binomischen Formel werden wir nachher benutzen.
5. Induktionsnachweis:
Wie man sieht, ist das Vorgehen bei Ungleichungen ähnlich dem bei Reihen. Jedoch wird sich
herausstellen, dass wir beweisen müssen, dass das größer-Zeichen wirklich für alle Zahlen n ≥ 10
gilt. Es wird auf eine Kurvendiskussion hinauslaufen. Wir sehen uns wie gewohnt zunächst den
linken Teil der Aussage an und versuchen, die Voraussetzung einzubauen.
2m+1 = 2 ∗ 2m > 2 ∗ m3
1
Hier wurde ganz einfach 2m durch m3 ersetzt. Der Unterschied zur Voraussetzung ist, dass hier
noch eine 2 davor multipliziert wird. Wenn wir jetzt beweisen können, dass
2 ∗ m3 > m3 + 3m2 + 3m + 1
gilt, haben wir unser Ziel erreicht. Wir streichen zunächst ein m3 und formen etwas um.
m3 > 3m2 + 3m + 1
m3 − 3m2 − 3m − 1 > 0
Jetzt verstehen wir auch, warum wir eine Kurvendiskussion machen müssen. Wir haben ein
Polynom dritten Grades P 3 vorliegen und suchen die Werte für m, für die P 3 > 0 ist. Nach
dem Globalverhalten zu urteilen, gilt limm→∞ P 3 = +∞. Somit müssen wir nur die Nullstelle
finden, die auf der m-Achse am zahlenmäßig größten ist. Wir erinnern uns nochmal an den
Anfang und sehen, dass nur m ∈ N zugelassen sind. Somit suchen wir die nächstgrößere ganze
Zahl.
Wie man die Kurvendiskussion macht, ist jedem selbst überlassen. Ich werde auf Details verzichten. Es stellt sich heraus, dass
m3 − 3m2 − 3m − 1 > 0 f ür
m ≥ 4 und m ∈ N
gilt. Am Anfang haben wir jedoch m = 10 als die erste Zahl identifiziert. Wir müssen nunmehr die Schnittmenge der beiden Ergebnisse nehmen. Daraus folgt, dass unsere anfängliche
Vermutung richtig war. Hier nochmal das Ergebnis.
2m > m3
f ür
m = 1 und m ≥ 10
2