Aufgabenblatt 2

Übungen zu Analysis
Wintersemester 12/13
Prof. Dr. Thomas Thierauf
Fak. Elektronik und Informatik
Aufgabenblatt 2
http://image.informatik.htw-aalen.de/∼thierauf/
1. Beweisen Sie folgende Gleichungen mit vollständiger Induktion über n.
a)
n
P
k 2 = n(n + 1)(2n + 1)/6
k=1
k=1
b)
n
P
n
P
c)
k 3 = n2 (n + 1)2 /4
k=1
In Teilaufgabe d) ist
n
Q
d)
k=2
1
k(k+1)
1−
=1−
1
k2
=
1
n+1
n+1
2n
Q
das Produktzeichen, analog zum Summenzeichen
n
Q
ai = a1 · a2 · · · · · an .
definiert: für Zahlen a1 , a2 , . . . , an ist
P
. Es ist wie folgt
k=1
2. Beweisen Sie die Bernoulli-Ungleichung durch Induktion über n ≥ 0:
(1 + p)n ≥ 1 + np
wobei p ∈ R und p ≥ −1.
3. Zeigen Sie durch Induktion über n ≥ 1:
n
X
1
√
k
k=1
≥
√
n
4. Untersuchen Sie folgende Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. den jeweiligen
Grenzwert.
a)
n+1
2n
c)
4n − 1
(2n + 3)2
b)
(2n + 3)2
4n − 1
d)
2n + (−1)n
n