¨Ubungsscheinklausur GKHM für WWT/ESM (GtB/Ma) (27.11.2000

Übungsscheinklausur GKHM für WWT/ESM (GtB/Ma) (27.11.2000)
1. Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung x4 − 2x2 − 3 = 0.
2. Skizzieren
Sie die Menge M in der Gaußschen Zahlenebene:
M = z : |<e z| ≤ 1, =m z > 3 , =m z ≤ 4 <e z + 1
3. Berechnen Sie das Volumen des Spats, dessen Ecken in den Punkten P0 = (0, 0, 0) ,
P1 = (3, 7, −6) , P2 = (−4, 5, 8) und P3 = (−2, 11, −4) liegen.
4. Für welche reellen Zahlen a und b sind die Ebenen E1 : 6x − 3z + 1 = 0, E2 : ax + by + z − 3 = 0
(a) parallel ? (b) orthogonal ? Berechnen Sie für den Fall a = −2 und b = 1 die Schnittgerade.
5. Besitzt das folgende Gleichungssystem eine Lösung ?
an.
x1 − 4x2 + 5x3
3x1 + x2 − x3
x1 − 2x2
Wenn ja, geben Sie die gesamte Lösungsmenge
− 2x4
+ x4
+ 3x4
= 1
= 0
= −2
6. (a) Existiert die Inverse zu

1
A= 0
−2

0 −1
1
0 ?
0
3
Wenn ja, berechnen Sie diese.
(b) Geben Sie AT an und berechnen Sie auch die Inverse von AT .
7. Welche Lage besitzen die folgenden Geradenpaare g1 , g2 zueinander ? Bestimmen Sie gegebenenfalls
Abstand und Schnittpunkt.
(a) g1 ist gegeben durch P1 = (0, 1, 0) und P2 = (−8, −5, −9) und g2 durch P3 = (1, 1, 1) und den
Richtungsvektor ~a mit den Koordinaten (3, 2, 1) ;
(b) g1 ist gegeben durch P1 = (0, 1, 0) und P2 = (−8, −5, −9) und g2 durch die Parameterdarstellung
 
  

1
5
x1
 x2  =  1  + t  2  .
3
0
x3
Lösungshinweise:
√
1. biquadratische Gleichung, Substitution z = x2 , z1 = −1, z2 = 3, x1,2 = ± i, x3,4 = ± 3
2. M = {(a, b) : −1 ≤ a ≤ 1, b > 3, b ≤ 4a + 1}
−−−→ −−−→ −−−→
3. V = | det(P0 P1 P0 P2 P0 P3 )| = | − 344| = |344|
4. Normalenvektoren ~n1 = (6, 0, −3)T , ~n2 = (a, b, 1)T
a) E1 | | E2 ⇔ ~n1 = λ~n2 (⇔ ~n1 × ~n2 = ~0) ⇒ a = −2, b = 0 (λ = −3).
b) E1 ⊥ E2 ⇔ ~n1 ⊥ ~n2 ⇔ ~n1 · ~n2 = 0 ⇒ a = 12 , b ∈ R.
6x −3z=−1
Schnittgerade für a = −2 und b = 1 ist die Lösungsmenge des Systems −2x+y+
z= 3
(z.B. in der Darstellung) x = t, z = 2t + 31 , y = 38 .
11
5. Eine Darstellung der Lösungsmenge ist x1 = t, x2 = 1 − 5t, x3 = 1 − 17
3 t, x4 = − 3 t, t ∈ R.




3 0 1
1 0 −2
−1
T
0  , AT
6. a) det A = 1, A regulär. A−1 =  0 1 0  b) AT =  0 1
= A−1 .
2 0 1
−1 0
3
7.
−−→
−−−→
a) g1 : ~x = OP1 + tP1 P2 = (0, 1, 0)T + t (−8, −6, −9)T , t ∈ R und
−−→
T
T
g2 : ~x = OP3 + s ~a = (1, 1, 1)
+ s(3, 2, 1) , s ∈ R sind windschief.
−−−→ −−−→ 1·12+0·(−19)+1·2
a) 3 ·(P1 P2×~
d(g1 , g2 ) = P1 P−
−
−
→
= √144+361+4 ≈ 0, 62
P1 P2 ×~a b) g1 wie in a) und g2 : ~x = (5, 1, 0)T + s(1, 2, 3)T , schneiden sich (t = −1, s = 3) in S(8; 7; 9).