Blatt 05

Übungen zur Elementaren Zahlentheorie
Prof. Dr. R. Weissauer
Th. Krämer
Blatt 5
Sommersemester 2013
Abgabe: Dienstag, 21. Mai 2013, 11:14 Uhr
Aufgabe 15. Ein Ideal a 6= R in einem kommutativen Ring R heißt Primideal, wenn
für alle a, b ∈ R gilt: Aus ab ∈ a folgt a ∈ a oder b ∈ a. Zeigen Sie:
(a) Ist f : R −→ S ein Ringhomomorphismus in einen Integritätsring S, dann ist
der Kern ker(f ) ein Primideal in R.
(b) Für a ∈ R mit a ∈
/ R∗ ∪ {0} ist das Hauptideal (a) = {ra | r ∈ R} ein
Primideal in R genau dann, wenn a ein Primelement ist.
Aufgabe 16. Für eine Primzahl p bezeichne Z(p) = { ab ∈ Q | a, b ∈ Z, p - b} ⊂ Q
die Menge aller rationalen Zahlen, die eine Darstellung als Bruch mit einem zu p
teilerfremden Nenner besitzen. Zeigen Sie:
(a) Z(p) ist ein Teilring von Q. Jedes von Null verschiedene Element x ∈ Z(p) \{0}
hat die Form x = cb ·pex mit zu p teilerfremden b, c ∈ Z und mit einem eindeutig
bestimmten Exponenten ex ∈ N0 .
(b) Die Einheitengruppe von Z(p) ist {x ∈ Z(p) | ex = 0}. Jedes Ideal a in Z(p) ist
ein Hauptideal der Form
a = (pe )
mit
e = min{ex | 0 6= x ∈ a}.
Insbesondere ist also Z(p) ein Hauptidealring mit genau zwei Primidealen.
Aufgabe 17. Für√eine quadratfreie natürliche Zahl n ∈ N fixiere man eine komplexe
Quadratwurzel −n ∈ C und betrachte
√
√
R = Z[ −n] = {a + b −n | a, b ∈ Z} ⊂ C.
√
Die Normfunktion N : R −→ N0 sei definiert durch N (a + b −n) = a2 + nb2
für a, b ∈ Z. Man zeige, dass dann gilt:
(a) R ist ein Teilring von C, und N (ab) = N (a)N (b) für alle a, b ∈ R.
(b) Der Ring R hat die Einheitengruppe
R
∗
(
{±1}
√
= {z ∈ R | N (z) = 1} =
{±1, ± −1}
für n ≥ 2,
für n = 1.
(c) Für n ≥ 3 ist das Element 2 ∈ R irreduzibel, aber nicht prim.
Hinweis: Für die Irreduzibilität zeige man, dass in dem Ring R jeder echte
Teiler z des Elementes 2 die Norm N (z) = 2 haben müßte, was für n ≥ 3
unmöglich ist. Um zu sehen, dass
Primelement des Ringes R ist, wähle
√ 2 kein √
man a ∈ {0, 1} so, dass (a + −n)(a − −n) = a2 + n eine gerade Zahl ist,
und zeige, dass keiner der beiden Faktoren in R durch 2 teilbar ist.
Die Übungsblätter und Informationen zur Vorlesung über Elementare Zahlentheorie
finden Sie auch auf der zugehörigen Homepage:
www.mathi.uni-heidelberg.de/~tkraemer/ElementareZahlentheorie/