Fortgeschrittene Zahlentheorie Universität Basel FS 2015 Blatt 3 A

Fortgeschrittene Zahlentheorie
Blatt 3
Universität Basel FS 2015
A. Surroca, H. Schmidt
Aufgabe 1 ( 2 + 2 Punkte). Sei P = X 3 − X − 4 ∈ Q[X] und sei α die Klasse von X
in Q[X]/(P ). Sei K = Q(α).
2
).
(i) Berechnen Sie ∆K/Q (1, α, α+α
2
2
(ii) Schließen Sie daraus, dass (1, α, α+α
) eine Z-Basis von OK ist.
2
√
Aufgabe 2 (3√
Punkte). Aus
√ der Vorlesung wissen wir, dass Z[ 3]√der Ring der ganzen
Zahlen von Q( 3) und
√ Z[√ 7] der Ring der ganzen Zahlen von Q( 7) ist.
√ √
Beweisen Sie, dass Z[ 3, 7] nicht der Ring der ganzen Zahlen von Q( 3, 7) ist.
Aufgabe 3 (1 + 2 + 2 + 2 Punkte). Sei P = T 5 − T + 1 ∈ Q[T ].
(i) Zeige, dass P in Q[T ] irreduzibel ist.
(ii) Sei K = Q[T ]/P Q[T ] = Q(α) wobei α das Bild von T in K bezeichnet. Berechne
∆K/Q (1, α, α2 , α3 , α4 ).
(iii) Zeige OK = Z[α].
×
(iv) Beweise, dass α und 1 + α Einheiten in OK sind, d.h. α, 1 + α ∈ OK
.
Aufgabe 4 (3 Punkte). Sei F ein Körper der Charakteristik 0 und K eine endliche
Körpererweiterung von F . Falls x ∈ K mit K = F (x) das F -Minimalpolynom
P (T ) = T d + a1 T d−1 + · · · + ad besitzt, zeigen Sie
Y
d(d−1)
∆K/F (1, x, x2 , . . . , xd−1 ) = (−1) 2
P 0 (y);
P (y)=0
hier durchläuft y alle Nullstellen von P im Zerfällungskörper von P und P 0 ∈ F [T ] ist
die Ableitung von P .
Abgabe: Bis zum 30.März 2015 in das Fach von Harry Schmidt.