3. ¨Ubung zur Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker/innen

Dr. O. Rheinbach
Mathematisches Institut
Universität zu Köln
3. Übung zur Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker/innen
Aufgabe 1 (10 Punkte)
Beweisen Sie: In einem Ring gilt stets
(−a) ∗ (−b) = a ∗ b.
Aufgabe 2 (10 Punkte)
Überprüfen Sie, ob in N mit
1. a ∗ b := ab ,
2. a ∗ b := ggT (a, b)
folgende Aussagen wahr sind?
• Es gibt ein e ∈ N mit a ∗ e = e ∗ a = a ∀a ∈ N.
• a ∗ b = b ∗ a ∀a, b ∈ N.
Aufgabe 3 (10 Punkte)
Wir definieren für Funktionen die Operation ◦ durch
(f ◦ g)(x) := f (g(x)).
Wir nennen ◦ auch die Verkettung oder Hintereinanderausführung von Funktionen.
Sei M = {f1 , f2 , f3 , f4 } mit f1 (x) = x, f2 (x) = x1 , f3 (x) = −x und f4 (x) = − x1 . Welche
algebraische Struktur hat (M, ◦)? Geben Sie die entsprechende Verknüfungstafel an.
Aufgabe 4 (10 Punkte)
M sei die Menge der sogenannten dualen Zahlen M = {a + bε : a, b ∈ R, ε2 = 0}.
Dabei gilt a1 + b1 ε = a2 + b2 ε dann und nur dann, wenn a1 = a2 und b1 = b2 . Die
Operationen + und · werden folgendermaßen definiert:
(a1 + b1 ε) + (a2 + b2 ε) := (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )ε,
(a1 + b1 ε) · (a2 + b2 ε) := (a1 · a2 ) + (a1 · b2 + a2 · b1 )ε.
Zeigen Sie, dass (M, +, ·) ein Ring ist.
Zusatzaufgabe 5 (+5 Punkte)
Konstruieren Sie einen Körper mit 3 Elementen!
Sie können die Übungen zu zweit abgeben!