Algebra - TU Chemnitz

Fakultät für Mathematik
Sommersemester 2017
JProf. Dr. Christian Lehn
Dr. Alberto Castaño Domı́nguez
Algebra
Übungsblatt 9
b = k[[x]] und
Aufgabe 1. Es sei k ein Körper. Wir betrachten die Ringe R = k[x] und R
b der durch x 7→ x definiert ist. Wir
den kanonischen Ringhomomorphismus i : R −
→ R,
b konvergiere gegen f ∈ R,
b wenn gilt:
sagen, eine Folge (fn )n∈N ⊂ R
b
∀m ∈ N ∃N ∈ N ∀n ≥ N : f − fn ∈ (xm ) ⊂ R.
b konvergiert. Eine Cauchyfolge in R
b ist
Eine Folge konvergiert, wenn sie gegen ein f ∈ R
b
eine Folge (fn )n∈N ⊂ R so, dass
b
∀m ∈ N ∃N ∈ N ∀n, n0 ≥ N : fn0 − fn ∈ (xm ) ⊂ R.
Zeigen Sie:
b ist vollständig, d.h. jede Cauchyfolge konvergiert.
1. Der Ring R
Hinweis: Dass die ersten m Koeffizienten der Potenzreihe sich ab dem N -ten Folgenglied nicht mehr ändern (Cauchyfolge), kann benutzt werden, um einen Grenzwert
f zu definieren.
b× .
2. Ist f ∈ R mit f ∈
/ (x), dann ist i(f ) ∈ R
b induziert einen injektiven Ringhomomorphis3. Der Ringhomomorphismus i : R −
→R
b so, dass j ◦ ι = i.
mus j : R(x) −
→R
Aufgabe 2. Es seien R ein Ring, f ∈ R \{0} und S ⊂ R das multiplikative System
{1, f, f 2 , . . .}. Zeigen Sie, dass der R-Algebrenhomomorphismus R[x] −
→ Rf , der durch
x 7→ f1 definiert ist, einen Isomorphismus
∼
=
R[x]/(1 − xf ) −−−→ Rf
induziert. Insbesondere ist also für einen Ring k der Ring Rf eine endlich erzeugte kAlgebra, falls dies auf R zutrifft.
Aufgabe 3. Es seien R ein Ring und M ein R-Modul. Ist p ⊂ R prim und S := R \ p,
so schreiben wir auch Mp anstelle von S −1 M . Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen
äquivalent sind:
1. M = 0.
2. Für alle Primideale p ⊂ R ist Mp = 0.
3. Für alle maximalen Ideale m ⊂ R ist Mm = 0.
Hinweis: Betrachten Sie für m ∈ M das Ideal Ann m := {x ∈ R | x.m = 0} ⊂ R. Ist
m 6= 0, so ist Ann m in einem maximalen Ideal enthalten (warum?).
Aufgabe 4. Es seien k ein Körper und R := k[x, y]/(xy). Zeigen Sie, dass der totale
Quotientenring Q(R) zu k(x) × k(y) isomorph ist.
Hinweis: Betrachten Sie die Abbildung R −
→ k[x]×k[y], die durch f (x, y) 7→ (f (x, 0), f (0, y))
gegeben ist, und gehen Sie auf beiden Seiten zum totalen Quotientenring über.
Aufgabe 5. Es sei R ein Integritätsring. Zeigen Sie, dass Q(R)(x) = Q(R[x]) gilt.