Übungen zur Vorlesung Algebra/Geometrie WS 2001/2002 6. Serie Aufgabe 1: Man gebe für n = 1, . . . , 10 jeweils eine zur zyklischen Gruppe Cn isomorphe Permutationsgruppe P ≤ Sm an mit minimalem m ∈ N. Aufgabe 2: Man zeige, daß für Permutationen π ∈ Sn gilt: Die Gruppe hπi wirkt genau dann transitiv auf Nn = {1, . . . , n}, wenn π ein n-Zyklus ist. Aufgabe 3: a) GX 0 Für eine Menge X 6= ∅ sei X 0 ⊆ X und G ≤ SX . Man prüfe, ob die Mengen n o V := g ∈ G : g(x) = x und x∈X 0 b) G{X 0 } n o 0 0 := g ∈ G : g(X ) = X Untergruppen von G bilden. c) Gilt stets GX 0 = G{X 0 } ? Definition: Eine Folge (an )∞ n=1 , an ∈ Q heißt a) Fundamentalfolge (Cauchyfolge) ^ _ :⇐⇒ ^ |an − am | < ε ε>0 n0 ∈N n,m≥n0 b) konvergent in Q :⇐⇒ _^ _ ^ |an − a| < ε a∈Q ε>0 n0 ∈N n≥n0 c) Nullfolge :⇐⇒ ^ _ ^ |an | < ε ε>0 n0 ∈N n≥n0 Bemerkung: Diese Definition läßt sich natürlich auf beliebige metrische bzw. normierte Räume übertragen. Für unsere Zwecke der Konstruktion der reellen Zahlen genügt es jedoch, Folgen rationaler Zahlen zu betrachten. Aufgabe 4: Es sei F die Menge aller Fundamentalfolgen über Q. Zusammen mit der komponentenweise definierten Addition und Multiplikation bilden diese eine algebraische Struktur. a) Geben Sie eine Fundamentalfolge über Q an, die nicht in Q konvergiert. b) Untersuchen Sie, ob die algebraische Struktur (F, +, ·) ein Ring oder ein Körper ist. Aufgabe 5: f Für zwei Fundamentalfolgen a, b ∈ F sei die Relation = wie folgt definiert: f a=b :⇐⇒ a − b ∈ N, wobei N die Menge aller Nullfolgen bezeichne. f Zeigen Sie, daß = eine Kongruenzrelation auf (F, +, ·) ist. Abgabe am 03.12.2001, 10 Uhr