Algebra II

Prof. Dr. Manfred Lehn
T. Weißschuh
3. Übung zur Vorlesung
Algebra II
im Sommersemester 2016
Aufgabe 1 — Zeige, dass für einen normalen Integritätsbereich A und eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge S ⊂ A \ {0} auch die Lokalisierung S −1 A normal ist.
Aufgabe 2 — Es sei K algebraisch abgeschlossen. Zeige, dass für eine Teilmenge Y ⊂ K n die
Teilmenge V (I(Y )) ⊂ K n stets der Zariski-Abschluss von Y ist.
Aufgabe 3 — Es seien A ⊂ B ⊂ C zwei Erweiterungen von kommutativen Ringen. Zeige: Sind die
Ringerweiterungen A ⊂ B und B ⊂ C beide ganz, so auch A ⊂ C.
Aufgabe 4 — Es sei A ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper K und L/K eine separable
Erweiterung. Zeige:
x ∈ L ist ganz / A ⇐⇒ alle Koeffizienten des Minimalpolynoms von x sind ganz / A.
Hinweis: Sind xi die Konjugierten von x in einem
Q algebraischen Abschluss von L, so ist das Minimalpolynom von x gegeben durch minpolx/K (t) = (t − xi ) ∈ K[t].
Aufgabe 5 — Für einen Zahlkörper K, d.h. eine endliche Körpererweiterung K/Q bezeichnet man
mit OK den ganzen Abschluss von Z in K und nennt OK den Ganzheitsring von K.
Betrachte eine quadratfreie ganze Zahl d ∈ Z \ {0, 1}, d.h. eine ganze Zahl deren Primteiler√höchstens
mit Vielfachheit 1 vorkommen, und den zugehörigen quadratischen Zahlkörper K = Q( d). Zeige,
dass
√
(a) a + b d ∈ K genau dann ganz ist, wenn 2a ∈ Z und a2 − b2 d ∈ Z.
( √
Z[ d],
d ≡ 2, 3 mod 4
√
(b) OK =
.
1+ d
Z[ 2 ], d ≡ 1 mod 4
Hinweis: Nutze das Kriterium aus Aufgabe 4.
Aufgabe 6 — Es seien X, Y topologische Räume. Zeige:
(a) Ist f : X → Y eine stetige Abbildung und X irreduzibel, so ist das Bild f (X) irreduzibel.
(b) Ist V ⊂ Y irreduzibel, so auch der Abschluss V ⊂ Y .
(c) X ist irreduzibel ⇐⇒ Jede nichtleere offene Menge in X ist dicht.
Aufgabe 7 — Betrachte Q mit der p-adischen Topologie
| − |p (für eine Primzahl p) und zeige: Ist
P
(an )n∈N eine Nullfolge in Q, so konvergiert die Reihe n∈N an in Qp .