Algebra

Algebra
SS 2015
Blatt
Professor Deitmar
Abgabe am: 8.6.2015 vor 12:00 Uhr bei Frau Jung, Raum C5 A 23
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Vier Punkte fuer jede Aufgabe.
1. Seien R ein faktorieller Ring, a, b ∈ R und n ∈ N. Zeige: Gilt an = bn ,
so sind a und b assoziiert.
2. Sei R ein faktorieller Ring, n ∈ N und p ∈ R ein Primelement. Zeige,
dass der Restklassenring R/pn R nur die beiden trivialen idempotenten Elemente 0 und 1 besitzt. Hierbei heisst ein element e eines Rings
idempotent, falls e2 = e gilt.
3.
(a) Zeige, dass ein Polynom ax2 + bx + c vom Grad 2 ueber einem
Koerper K mit Char(K) , 2 genau dann irreduzibel ist, wenn
b2 − 4ac kein Quadrat in K ist.
h√ i
(b) Zeige, dass 3x2 + 4x + 3 als Polynom ueber Z −5 irreduzibel,
h√ i
ueber Q −5 aber reduzibel ist.
4. Ein Winkel α > 0 heisst rationaler Winkel, falls α in Qπ liegt. Zeige,
dass in einem rechtwinkligen Dreieck, dessen beide kuerzeren Seitenlaengen verschiedene rationale Zahlen sind, die beiden von π/2
verschiedenen Winkel nicht rational sein koennen.
(Hinweis: Man kann annehmen, dass die beiden Seitenlaengen natuerliche Zahlen sind. Ein Dreieck ∆ mit den verlangten Eigenschaften
ist dann gegeben durch die Seitenlaengen a, b, c > 0 mit a, b ∈ N, a , b
und a2 + b2 = c2 . Wird ∆ mit den Punkten 0, a, a + ib ∈ Z[i] identifiziert, so ist der im Nullpunkt liegende Winkel α von ∆ gegeben
durch a + ib = ceiα . Beachte Aufgabe 1.)