Zahlentheorie: Übungsblatt 1 (für die Übungen am 25

S. Koenig, A. Shalile
Zahlentheorie
WiSe 2012/2013
Zahlentheorie: Übungsblatt 1
(für die Übungen am 25. Oktober 2012)
(schriftlich). Sei H = {3n + 1 | n ∈ N0 }. Ein Element 1 6= p ∈ H heiÿt
H -Primzahl, wenn 1 und p die einzigen Teiler von p sind, die in H liegen.
Aufgabe 1
(a) Zeigen Sie, dass H multiplikativ abgeschlossen ist, nicht aber additiv.
(b) Besitzt jedes Element in H eine Zerlegung in H -Primzahlen? Wenn ein Element in H
eine H -Primzahlzerlegung besitzt, ist diese eindeutig?
(schriftlich). Zeigen Sie, dass es unendlich viele Primzahlen der Form p = 4n + 1
(für n ∈ N) gibt.
Aufgabe 2
Aufgabe 3
(mündlich). Sei n ∈ N ungerade.
(a) Zeigen Sie, dass das Faktorisierungsproblem für n (also das Finden ganzer Lösungen a, b
der Gleichung n = ab) äquivalent ist zum Finden ganzer Lösungen x, y der Gleichung
n = x2 − y 2 .
(b) Sei k ∈ N die kleinste Zahl für die k 2 ≥ n gilt. Wir betrachten die Folge
k 2 − n, (k + 1)2 − n, (k + 2)2 − n, . . .
√
Beweisen Sie, dass man nach endlich vielen Schritten eine Zahl m ≥ n erhält, so dass
m2 − n eine Quadratzahl ist (und somit eine Lösung der Gleichung n = x2 − y 2 ).
(c) Warum kann man obige Folge nutzen, um alle Teiler von n zu bestimmen?
(d) Benutzen Sie dieses Verfahren, um 23449 zu faktorisieren.
Aufgabe 4
(schriftlich). Ein endlicher Kettenbruch ist ein Ausdruck der Form
n1 +
n2
n3 +
n4
n6
n5 + n +...
,
7
wobei ni ∈ Z sein sollen und wir annehmen, dass der Ausdruck endlich ist.
(a) Benutzen Sie den Euklidischen Algorithmus, um den ggT von 210 und 45 zu berechnen.
(b) Benutzen Sie die Rechnung aus Teil (a) um 210
als Kettenbruch darzustellen und folgern
45
Sie, dass sich jedes z ∈ Q als Kettenbruch darstellen lässt.
[email protected]
Seite 1 von 2
18. Oktober 2012
S. Koenig, A. Shalile
Zahlentheorie
WiSe 2012/2013
Aufgabe 5 (mündlich). (a) Zeigen Sie, dass sich jede positive rationale Zahl q als Produkt
von Primzahlen q = pn1 1 · · · pnk k schreiben lässt, wobei die ganzen Zahlen n1 , . . . , nk eindeutig bestimmt sind.
(b) Eine ganze Zahl z heiÿt reine n-Potenz, wenn n alle Exponenten in der Primfaktorzerlegung von z teilt. Zeigen Sie, dass die nte Wurzel aus z irrational ist, wenn a keine reine
n-Potenz ist.
(mündlich). Ein Tripel (x, y, z) ⊆ N3 mit x2 + y 2 = z 2 heiÿt pythagoräisches
Tripel. Es heiÿt weiterhin primitiv, wenn x, y und z keinen nicht-trivialen gemeinsamen Teiler
haben. Zeigen Sie:
Aufgabe 6
(a) Ist (x, y, z) ein primitives pythagoräisches Tripel, dann ist entweder x oder y gerade,
aber nicht beide.
(b) Sei das Tripel wie oben und o.B.d.A. x gerade. Deniere u =
sind u und v (ganze) Quadratzahlen.
z−y
2
und v =
z+y
2
. Dann
(c) Es existieren teilerfremde Zahlen s, t mit s > t, x = 2st, y = s2 − t2 und z = s2 + t2 .
[Wir werden auf dem nächsten Übungsblatt sehen, wie man dieses Resultat nutzen kann um
zu zeigen, dass die Gleichung x4 + y 4 = z 4 keine ganzzahligen Lösungen besitzt.]
http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/ZahlTheo-Koenig/
[email protected]
Seite 2 von 2
18. Oktober 2012