Handbuch der elementaren Zahlentheorie
Werbung
Berliner Studienreihe zur Mathematik Band 12 David M. Burton / Heinz Dalkowski Handbuch der elementaren Zahlentheorie mit über 1000 Übungsaufgaben und ihren Lösungen Heldermann Verlag Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Vorwort Zeittafel vi ix xiv Kapitel 1 Vorbetrachtungen 1 1.1 Mathematische Induktion 1.2 Der Binomialsatz 1.3 Die Anfänge der Zahlentheorie 1 8 13 Kapitel 2 Teilbarkeitstheorie der ganzen Zahlen 19 2.1 2.2 2.3 2.4 Der Der Der Die Divisionsalgorithmus größte gemeinsame Teiler Euklidische Algorithmus diophantische Gleichung ax + by = c Kapitel 3 Primzahlen und ihre Verteilung 3.1 Der Fundamentalsatz der Zahlentheorie 3.2 Das Sieb des Eratosthenes 3.3 Die Goldbachsche Vermutung Kapitel 4 Die Theorie der Kongruenzen 4.1 4.2 4.3 4.4 47 47 53 61 73 Carl Friedrich Gauß Elementare Eigenschaften der Kongruenzen Spezielle Teilbarkeitsprüflingen Lineare Kongruenzen Kapitel 5 Der Satz von Fermat 5.1 5.2 5.3 5.4 19 22 31 38 73 75 82 89 99 Pierre de Fermat Fermats Faktorisierungsverfahren Der Kleine Satz von Fermat Der Satz von Wilson 99 101 106 114 Kapitel 6 Zahlentheoretische Funktionen 119 6.1 Die Funktionen r und a 6.2 Die Möbiussche Umkehrformel 6.3 Das Größte Ganze 119 130 135 -vi- Inhaltsverzeichnis Kapitel 7 Eulers Verallgemeinerung des Satzes von Fermat 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 Leonhard Euler Eulers (/»-Funktion Der Satz von Euler Einige Eigenschaften der (/»-Funktion Eine Anwendung auf die Kryptographie Kapitel 8 Primitive Wurzeln und Indizes 8.1 8.2 8.3 8.4 Die Ordnung einer natürlichen Zahl modulo n Primitive Wurzeln von Primzahlen Zusammengesetzte Zahlen mit primitiven Wurzeln Die Theorie der Indizes Kapitel 9 Das Quadratische Reziprozitätsgesetz 9.1 9.2 9.3 9.4 Das Kriterium von Euler Das Legendre-Symbol und seine Eigenschaften Quadratische Reziprozität Quadratische Kongruenzen mit zusammengesetzten Moduln Kapitel 10 Vollkommene Zahlen 10.1 Die Suche nach vollkommenen Zahlen 10.2 Mersennesche Primzahlen 10.3 Fermatsche Zahlen vii 143 143 145 151 156 162 177 177 184 193 199 207 207 214 227 236 241 241 248 260 Kapitel 11 Die Fermatsche Vermutung 269 11.1 Pythagoräische Tripel 11.2 Der berühmte „Letzte Satz" 269 277 Kapitel 12 Darstellung ganzer Zahlen als Quadrat-Summen 12.1 Joseph Louis Lagrange 12.2 Summen von zwei Quadraten 12.3 Summen von mehr als zwei Quadraten Kapitel 13 Fibonacci-Zahlen 13.1 Die Fibonacci-Folge 13.2 Einige Identitäten mit Fibonacci-Zahlen Kapitel 14 14.1 14.2 14.3 14.4 Kettenbrüche Srinivasa Ramanujan Endliche Kettenbrüche Unendliche Kettenbrüche Die Pellsche Gleichung Kapitel 15 Einige Entwicklungen im 20 t e n Jahrhundert 15.1 Hardy, Dickson und Erdös 15.2 Primzahltests und Faktorisierung 15.3 Der Primzahlsatz 287 287 289 300 313 313 320 331 331 334 347 362 379 379 384 394 viii Anhang Inhaltsverzeichnis Die Bertrandsche Vermutung 403 Tabellen 412 Liste der bekannten vollkommenen Zahlen 412 Tabelle 1: kleinste primitive Wurzeln 413 Tabelle 2: kleinste Primfaktoren 414 Tabelle 3: Primzahlen 424 Tabelle 4: Häufigkeit von Primzahlen und Primzahlzwillingen . . 426 Tabelle 5: Quadrate und Kuben 427 Tabelle 6: Werte zahlentheoretischer Funktionen 434 Liste der verwendeten Symbole 436 Liste der Definitionen, Sätze, Korollare, Lemmata und Beispiele . . . . 438 MATHEMATICA8-Funktionen für die elementare Zahlentheorie 445 Lösungen zu den Übungsaufgaben 453 Literaturverzeichnis 739 Stichwortverzeichnis 747
