Analytische Zahlentheorie – Blatt 9

Prof. Dr. Benjamin Klopsch
Sommersemester 2015
Analytische Zahlentheorie – Blatt 9
Abgabe der Lösungen zu den ersten beiden Aufgaben am 22.06.2015 in der Vorlesung
Weitere Informationen zur Vorlesung und den Übungen finden Sie unter
http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/AnaZaTh_SS15/.
Aufgabe 9.1
(8 Punkte)
Für x ∈ R>0 bezeichnet π(x) bekannterweise die Anzahl der Primzahlen p ∈ P mit p ≤ x.
Sei m ∈ Z. Für a ∈ Z und x ∈ R>0 bezeichnen wir mit πa,m (x) die Anzahl der Primzahlen
p ∈ P mit p ≤ x und p ≡m a.
Zeigen Sie, daß die nachfolgendenden Aussagen äquivalent sind.
(1) Für alle a ∈ Z mit ggT(a, m) = 1 gilt
πa,m (x) ∼
π(x)
ϕ(m)
für x → ∞,
wobei ϕ die Eulersche Phi-Funktion bezeichnet.
(2) Für alle a, b ∈ Z mit ggT(a, m) = ggT(b, m) = 1 gilt
πa,m (x) ∼ πb,m (x)
für x → ∞.
(Hinweis: Offensichtlich gibt es nur endlich viele Primzahlen, die m teilen.)
Aufgabe 9.2
Für m ∈ N und b ∈ Z betrachten wir die quadratische Gaußsumme
m−1
G(b, m) = ∑ e2πibx
2 /m
(8 Punkte)
.
x=0
Weisen Sie die folgenden Aussagen für quadratische Gaußsummen direkt nach.
(a) Sind m1 , m2 ∈ N teilerfremd und b ∈ Z, so gilt: G(b, m1 m2 ) = G(bm1 , m2 )G(bm2 , m1 ).
(Hinweis: Schreiben Sie 1 = c1 m1 + c2 m2 . Mit x1 ∈ {0, . . . , m1 − 1} und x2 ∈ {0, . . . , m2 − 1}
durchläuft x = x1 c2 m2 + x2 c1 m1 dann ein Vertretersystem für Z/m1 m2 Z.)
Bemerkung: Quadratischen Gaußsummen lassen sich also auf den Spezialfall G(b, pk )
zurückführen, bei dem der zugrunde liegende Modulus eine Primzahlpotenz ist.
(b) Sei p ∈ P mit p > 2, und sei b ∈ Z mit p ∤ b. Für k ∈ N mit k ≥ 2 gilt dann:
G(b, pk ) = pG(b, pk−2 ).
(Hinweis: Verwenden Sie die Zerlegung
pk−1
G(b, p ) = ∑ e
k
y=1
2πib(py)2 /pk
p−1 pk−1 −1
+ ∑ ∑ e2πib(x0 (1+py))
x0 =1
2 /pk
y=0
und analysieren Sie die insgesamt p Teilsummen mit Summationsindex y.)
(c) Sei p ∈ P mit p > 2, und sei b ∈ Z mit p ∤ b. Für k ∈ N gilt dann
⎧
⎪
falls k ≡2 0,
⎪pk/2
k
G(b, p ) = ⎨ (k−1)/2
⎪
G(b, p) falls k ≡2 1.
⎪
⎩p
Bitte wenden!
S. 1/2
Analytische Zahlentheorie – Blatt 9
S. 2/2
Aufgabe 9.3
(a) Seien m, n ∈ N mit m ∣ n, und seien χ ∈ G(m) und ψ ∈ G(n) Dirichletcharaktere
modulo m bzw. n. Weiter bezeichne ψ0 ∈ G(n) der Hauptcharakter modulo n.
Zeigen Sie: χ vermittelt ψ genau dann, wenn ψ = χψ0 ist.
(b) Sei m = m1 ⋯mr das Produkt von paarweise teilerfremden Zahlen m1 , . . . , mr ∈ N.
Sei χ ∈ G(m) ein Dirichletcharakter modulo m. Zeigen Sie:
(i) Es gibt eine eindeutige Produktzerlegung χ = χ1 ⋯χr mit χi ∈ G(mi ) für alle Indizes i.
(ii) Sei b ∈ Z. Dann gibt es für jedes i ∈ {1, . . . , r} ein bi ∈ Z, so daß bi ≡mi b und bi ≡mj 1
für j =/ i ist. Unter Verwendung dieser Notation gilt für die Gaußschen Summen:
r
τ (b, χ) = ∏ χi (m/mi )τ (bi , χi ).
i=1