gekürzte ¨Ubersicht der Definitionen, Sätze, Korollare

Algebra und Zahlentheorie
Vorlesung 2, 16.04.2012
Bemerkung: gekürzte Übersicht der Definitionen, Sätze, Korollare (ohne Beweise)
Definition [Teilbarkeit]: Sei a, b ∈ Z
a|b ⇔ ∃k ∈ Z : b = k · a
Sprechweise: a teilt b
Frage 1: Wie viele durch 3 teilbare Zahlen zwischen 1 und 100 gibt es?
Überlegung: 3|a , 1 ≤ a ≤ 100 , a = 3 · l mit l ∈ Z 1 ≤ 3 · l ≤ 100 ⇒ 1 ≤ l ≤
100
3
⇔ 1 ≤ l ≤ 33
Antwort: Es gibt genau 33 Vielfaches von 3.
Frage 2: Wie viele Vielfache von 7 gibt es, die nicht größer als 100 sind?
Überlegung: 7|a , a = 7 · l
, 7 · l < 100 ⇒ Bedingung: l < 100
7 mit l ∈ Z
⇒ l ≤ 14
Vielfaches von 7: 7, 7 · 2, 7 · 3, · · · , 7 · 14.
Antwort:
Frage 3: Welche Zahlen der Form 2n − 1, mit n ∈ N, sind durch 5 teilbar?
Definition [größter gemeinsamer Teiler, ggT]: Seien a, b ∈ Z
Da a und b endlich viele gemeinsame Teiler haben, gibt es einen
größten gemeinsamen Teiler und es wird durch
d := ggT (a, b)
bezeichnet.
d hat folgende Eigenschaften:
(1) d|a , d|b
(2) Falls m|a , m|b ⇒ m ≤ d
Definition [kleinstes gemeinsames Vielfaches, kgV]
Satz: Seien a, b ∈ N. Dann ist d := ggT (a, b) die kleinste
natürliche Zahl, die sich als ganzzahlige Linearkombination von a
und b darstellen lässt.
A = {xa + yb ∈ Z : x, y ∈ Z}
B := {dm : m ∈ Z}
⇔A=B
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Algebra und Zahlentheorie
Vorlesung 2, 16.04.2012
Korollar: Seien a und b teilerfremde ganze Zahlen, d.h.
ggT (a, b) = 1
Dann hat die Gleichung xa + yb = 1 eine ganzzahlige Lösung.
Bsp.: ggT (7, 12) = 1
7x + 12y = 1 erfüllt für x = 7, y = −4
Definition: [Euklidischer Algorithmus]
Wiederholung: [Division mit Rest]
Definition: [Primzahl]: p ∈ N heißt Primzahl, wenn p > 1 und
p nur die trivialen Teiler p = ±1, ±p bestitzt.
P = {p ∈ N : p P rimzahl } = {2, 3, 5, 7, · · · }
Satz: [Euklid]: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Goldbachsche Vermutung (gibt keinen Beweis bis heute):
Jede natürliche gerade Zahl n > 2 ist die Summe von zwei Primzahlen.
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