Inhaltsverzeichnis 1 Teilbarkeit ganzer Zahlen

1
2
2
2
3
2 Kongruenzen
2.1 Modulo-Rechnen . . . . . . . . . .
2.2 Der chinesische Restsatz . . . . . .
2.3 Die Eulersche ϕ-Funktion . . . . .
2.4 Wilson, Fermat und Euler . . . . .
2.5 Restklassenring als direkte Summe
3
3
4
4
4
4
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2
Teilbarkeit ganzer Zahlen
1.1
Teilbarkeit
Definitionen
, t 6= 0 Dann: t|z :⇔ ∃ x ∈
• t, z ∈
• t gemeinsamer Teiler von a, b ∈
• t ggT von a, b ∈
: tx = z (t Teiler von z, z Vielfaches von t)
:⇔ t|a ∧ t|b
, a 6= 0 ∨ b 6= 0 ⇔ t = (a, b) :⇔ t|a ∧ t|b, 6 ∃s > t : s|a ∧ s|b
• v gemeinsames Vielfaches von a, b ∈
• v kgV von a, b ∈
\{0} :⇔ a|v ∧ b|v
\{0} ⇔ v = [a, b] :⇔ a|v ∧ b|v, 6 ∃w < v : a|w ∧ b|w
Sätze
• t, t1 , t2 , a, b ∈
– t|a, t|b ⇒ t|(a + b)
– t|a ⇒ t|ab
– t1 |a, t2 |b ⇒ t1 t2 |ab
• Division mit Rest: a, t ∈
• r 1 , r2 , r3 , t ∈
, t ≥ 1 ⇒ ∃! b, r ∈
: a = bt + r,
0≤r ≤ t−1
, r1 = r2 t + r3 ⇒ (r1 , r2 ) = (r2 , r3 )
• Euklidischer Algorithmus: Zurückführen des ggT auf kleinere Zahlen mit Abbruchkriterium “Division liefert Rest 0”
• a, b ∈
\{0} ⇒ ∃x, y ∈
• a, b ∈
\{0} : t ∈
• a, b ∈
Teiler von a, b ⇔ t|(a, b)
: (a, b) · [a, b] = ab
\{0} : w gemeinsames Vielfaches von a, b ⇔ [a, b]|w
• a, b ∈
1.2
: ax + by = (a, b)
Primzahlen
Definitionen
• p∈
• a, b ∈
Primzahl :⇔ 1 und p sind die einzigen Teiler von p in
\{0} teilerfremd :⇔ (a, b) = 1
• p Fermatsche Primzahl :⇔ p = 2n + 1
1 Teilbarkeit ganzer Zahlen
1.1 Teilbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Vollkommene Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung zu Zahlentheorie - SS 2004
Inhaltsverzeichnis
Sara Adams
1
Zusammenfassung zu Zahlentheorie - SS 2004
Sara Adams
Sara Adams
Zusammenfassung zu Zahlentheorie - SS 2004
3
Sätze
Sara Adams
Zusammenfassung zu Zahlentheorie - SS 2004
4
Sätze
• Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie: Jede natürliche Zahl n > 1 lässt sich
bis auf Reihenfolge der Faktoren eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben.
• a1 , ..., as ∈
, p Primzahl, p|a1 · ... · as ⇒ ∃i : p|ai
• ≡ ist eine Äquivalenzrelation
• a ≡ a0 (n), b ≡ b0 (n) ⇒ a + b ≡ a0 + b0 (n),
•
∗
n
ab ≡ a0 b0 (n)
ist multiplikative Gruppe.
2.2
, ti |a ∀i ⇒ t1 · ... · tr |a
Der chinesische Restsatz
• Chinesischer Restsatz: r1 , ..., rk ∈ , m1 , ..., mk ∈
pw. teilerfremd, mi > 1 ⇒ das
System x ≡ ri (mi ) 1 ≤ i ≤ k hat Lösung in , eindeutig modulo m1 · ... · mk
m
• (Kürzungsregel) Für m ∈ , a, b, c ∈ gilt: ac ≡ bc (m) ⇔ a ≡ b (c,m)
• t1 , ..., tr paarweise teilerfremd, a ∈
• Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Vollkommene Zahlen
P
3d|n
d
• ax ≡ b (n) lösbar ⇔ (a, n)|b
vollkommen :⇔ σ(n) = 2n
• ax ≡ b (n) lösbar ⇒ ∃ genau (a, n) verschiedene Lösungen modulo n
n
• Mersenne-Zahlen: Mn := 2 − 1 für n ∈
• n∈
: σ(n) :=
• n∈
Definitionen
2.3
Sätze
• Eulersche ϕ-Funktion: ϕ(1) = 1, ϕ(n) = |
vi
i=1 pi , pi
3n=
i=1
v +1
pi i −1
∗
n|
für n ≥ 2
• a prime Restklasse modulo n ⇔ (a, n) = 1
pi −1
: (n, m) = 1 ⇒ σ(nm) = σ(n)σ(m)
vollkommen ⇔ n = 2p−1 (2p − 1), Mp Mersenne’sche Primzahlen
• m, n ∈ , (m, n) = 1 : ϕ(m · n) = ϕ(m) · ϕ(n)
Q
Q
Q
• n = si=1 pei i , pi ∈ pw. versch., ei ∈ ⇒ ϕ(n) = si=1 pei i −1 (p1 − 1) = n · si=1 (1 − p1i )
P
• n∈ :
d|n ϕ(d) = n
• n∈2
• n, m ∈
versch. Primzahlen ⇒ σ(n) =
Qs
Qs
•
Die Eulersche ϕ-Funktion
1.3
Wilson, Fermat und Euler
• Wilson: n ∈
Definitionen
Primzahl ⇔ (n − 1)! ≡ −1 (n)
, (a, n) = 1 ⇒ aϕ(n) ≡ 1 (n)
• Euler: a, n ∈
• a = {b : b ≡ a (n)} Restklasse modulo n
• kleiner Satz von Fermat: p ∈
n
• m∈
:= {0, ..., n − 1} Menge aller Restklassen
, ∃a ∈
⇒ ap ≡ a (p) ∀a ∈
: am 6≡ a (m) ⇒ a 6∈
• Carmichael-Zahlen: Zahlen m ∈ \ : am ≡ a (m) ∀a ∈
13
Beispiele: 561 = 3 · 11 · 17, 1729 = 7 · 13 · 19, F13 = 22 + 1
• p ∈ , 1 ≤ j ≤ p − 1 ⇒ p| pj
• a + b := a + b
•
∗
n
• a∈
vollständiges Restsystem modulo n ⇔
a · b := a · b ⇒
n
Ring
= {a : ∃b : ab = 1} Einheitengruppe von
∗
n
prime Restklasse modulo n
n
= {m1 , ..., mn }
• M = {m1 , ..., mn } ⊂
•
• a kongruent b modulo n ⇔ a ≡ b mod n :⇔ n|a − b
2.4
Modulo-Rechnen
2.1
Kongruenzen
2
n
2.5
Restklassenring als direkte Summe
Sei G eine multiplikativ geschriebene, endliche Gruppe.
Sara Adams
Zusammenfassung zu Zahlentheorie - SS 2004
5
• n Ordnung von g ∈ G :⇔ n ∈
: g n = 1, [m ∈
Vorbemerkungen
, g m = 1 ⇒ m ≥ n]
• G endliche, abelsche Gruppe: e Exponent von G :⇔ e = max{Ord(g) : g ∈ G}
– e Exponent von G ⇒ g e = 1 ∀g ∈ G
– d Ordnung von g ∈ G ⇒ d|e
• einige Eigenschaften
– g |G| = 1 ∀g ∈ G
: g n = 1 ⇔ c|n
– Ord(g) = c, n ∈
– Ord(g) = n ⇒ Ord(g c) =
i
n
(c,n)
j
– Ord(g) = n ⇒ [g = g ⇔ n|i − j]
– Ord(g) = n ⇒ g −1 = g n−1
– Ord(g) = n, d|n ⇒ in < g > gibt es genau ϕ(d) Elemente der Ordnung d
• G1 , ..., Gs multiplikativ geschriebene Gruppen ⇒ G1 × ... × Gs Gruppe durch:
(g1 , ..., gs ) · (h1 , ..., hs ) := (g1 h1 , ..., gs hs )
• R1 , ..., Rs Ringe ⇒ R1 × ... × Rs Ring durch:
(r1 , ..., rs ) + (r10 , ..., rs0 ) := (r1 + r10 , ..., rs + rs0 )
(r1 , ..., rs ) · (r10 , ..., rs0 ) := (r1 r10 , ..., rs rs0 )
Sätze
• n = 2r , r ∈
∗
n
⇒ [
zyklisch ⇔ r ∈ {1, 2}]
• n = p , r ∈ , p > 2 Primzahl ⇒ ∗n zyklisch
L
Q
• n = si=1 ni , ni ∈ pw. teilerfremd ⇒ n ' si=1 ni
Q
• n = si=1 ni , ni ∈ pw. teilerfremd ⇒ ∗n ' ∗n1 × ... ×
r
∗
ns
• G, H abelsche, multiplikative Gruppen: G × H zyklisch ⇔ G, H zyklisch, (|G|, |H|) = 1