Probeklausur - Institut für Mathematik

Universität Würzburg
Institut für Mathematik
Dr. Jens Jordan
Wintersemester
2011/12
09.02.2012
Probeklausur: Elementare Zahlentheorie
Nehmen Sie sich 105 Minuten Zeit und versuchen Sie alle Aufgaben dieser Probeklausur alleine zu lösen. Setzen Sie sich danach mit Ihren Kommilitonen zusammen und vergleichen
Sie Ihre Lösungen. Diskutieren Sie, ob Ihre Lösungen für den Leser (Korrektor) verständlich
und mathematisch exakt formuliert sind und wie man sie gegebenenfalls verbessern könnte.
Lösungehinweise zur Probeklausur gibt es ab 31. Januar im Netz. In den Tutorien am 1 bis
3 Februar können Fragen zu den Aufgaben der Probeklausur gestellt werden.
Hinweise:
• Kennzeichnen Sie bitte jedes Blatt Papier mit Ihrem Namen und Vornamen.
• Bearbeiten Sie auf jedem Blatt ausschließlich eine Aufgabe.
• Sie haben 105 Minuten Zeit, die Aufgaben zu lösen.
• ACHTUNG: Nur 5 der sechs Aufgaben werden bewertet. Bitte geben Sie in
dem dafür vorgegebenen Kästchen auf dem Deckblatt an, welche Aufgabe Sie
NICHT gewertet haben wollen. Wenn Sie nichts angeben, wird Aufgabe 6 nicht
gewertet.
• Als Hilfsmittel ist lediglich das von Ihnen kommentierte Menue der Vorlesung zugelassen.
Aufgabe 1 ( 8 Punkte)
Von den Aussagen a),b),c) d) und e) sind genau zwei falsch. Finden Sie diese und belegen Sie mit
einem Gegenbeispiel, dass sie falsch sind. (Die richtigen Aussagen müssen nicht bewiesen
werden.)
Es sei n ∈ N, N ∈ N und p1 , p2 , . . . , pN die ersten N Primzahlen (der größe nach geordnet).
Weiter sei
N
Y
β
1<n=
pj j ,
mit β1 , β2 , . . . , βN ∈ N0 .
j=1
a) Ist n eine Zweierpotenz, so ist β2 = β3 = · · · = βN = 0.
b) Ist das Produkt der Zahlen β1 , β2 , . . . , βN gleich 0 dann ist n eine Primzahl.
c) Ist n ungerade, so ist β1 = 0.
d) Ist x ∈ N und ggT(x, n) = 2, so ist β1 = 1.
e) Ist β1 = β2 = · · · = βN = 1, so teilt 2N −1 die Zahl ϕ(n).
Aufgabe 2 (2+2+4 Punkte)
Im folgenden sei (p, q), p < q ein Primzahlzwilling.
a) Zeigen Sie, dass es zu jedem z ∈ Z Zahlen x, y ∈ Z gibt, so dass px + qy = z.
b) Bestimmen Sie ein x, y ∈ Z, so dass px + qy = 2.
c) Es sei p 6= 3 (also q 6= 5). Zeigen Sie, dass die Gleichungen (p + 1)x + 3y = 2 keine Lösung
hat.
Aufgabe 3 (8 Punkte)
Beweisen Sie die folgende Aussage mittels vollständiger Induktion:
2n (n!)2 ≤ (2n)!.
Für alle n ∈ N gilt:
Aufgabe 4 ( 4+4 Punkte)
Zu a, b ∈ N sei F (a, b) das kleinste d ∈ N0 , so dass a ≡ d mod b. Untersuchen Sie die Abbildung
F : N × N → N0 , (a, b) 7→ F (a, b) auf Injektivität und Surjektivität.
Aufgabe 5 (8 Punkte)
77
Bestimmen Sie ein d ∈ {0, 1, . . . , 7} so dass 7777 − d durch 8 teilbar ist.
Aufgabe 6 ( 3+5 Punkte)
n
a) Zeigen Sie: Für alle n ∈ N, n > 1 ist 22 ≡ 1 mod 5.
b) Bestimmen Sie alle Fermat Primzahlen, die auch Germain Primzahlen sind.
Angedachter Notenschlüssel
40 − 34, 5 34 − 32 31, 5 − 29, 5 29 − 27 26, 5 − 24, 5 24 − 22 21, 5 − 19, 5 19 − 17 16, 5 − 14, 5 14 − 12 < 12
1, 0
1, 3
1, 7
2, 0
2, 3
2, 7
3, 0
3, 3
3, 7
4, 0
5, 0
Und so wird das Deckblatt aussehen:
Institut für Mathematik der Universität Würzburg
Elementare Zahlentheorie
Klausur am 09.02.2012, 1000 –1145
Aufgabe
K.1
K.2
K.3
K.4
K.5
K.6
erreichbare Punkte
8
8
8
8
8
8
Σ
Max Mustermann
geboren am 30.02.1987
in Würzburg,
Matrikelnummer 1234567
40
erreichte Punkte
Es werden fünf Aufgaben gewertet. Bitte Aufgabe
nicht werten