Programm

PROSEMINAR: ELEMENTARE ZAHLENTHEORIE
SOMMERSEMESTER 2015
DR. LARS KINDLER
Die elementare Zahlentheorie studiert die ganzen Zahlen Z. Das Wort elementar“ bedeutet hierbei
”
für dieses einführende Seminar, dass Fragestellungen diskutiert werden, die mit minimalem theoretischen Unterbau formuliert und beantwortet werden können. Beispielsweise werden wir sehen, dass
bestimmte Gleichungen keine ganzzahligen Lösungen haben (es gibt kein Tripel (a, b, c) ∈ Z3 , so dass
a4 + b4 = c4 ), und dass andere Gleichungen immer ganzzahlige Lösungen haben (jede natürliche Zahl ist
Summe von vier Quadratzahlen, d.h. für jedes n ∈ N gibt es (a, b, c, d) ∈ N4 , so dass a2 +b2 +c2 +d2 = n).
Literatur: Zu Beginn werden wir [Sch07] folgen, das als E-Book kostenlos im Universitätsnetzwerk zur Verfügung steht. Es gibt aber eine Vielzahl an in die Zahlentheorie einführenden Texten und
die Teilnehmer sind ausdrücklich ermutigt sich mit anderen Büchern vertraut zu machen. Eine Liste
findet sich am Ende dieses Programms.
Ablauf :
• Vortragssprache ist Deutsch oder Englisch.
• Jeder Vortrag findet an der Tafel statt und ist ein mathematischer Vortrag. Zwar sind historische
Bemerkungen wichtig und interessant, aber der Schwerpunkt des Vortrags muss auf der
Mathematik liegen.
• Der Vortragende muss dafür sorgen, dass zu jedem Zeitpunkt klar ist, an welchem Punkt in
einem mathematischen Argument er sich befindet; beispielsweise muss es deutlich sein, was
Annahme und was Behauptung ist.
• Nötige Definitionen müssen präsentiert werden.
• Es wird eine aktive Teilnahme des Publikums erwartet und besteht Anwesenheitspflicht.
• Es sollte rechtzeitig ein Termin mit mir vereinbart werden, um spätestens eine Woche vor dem
Vortragstermin eine kurze Vorbesprechung des Vortrags durchzuführen und offene Fragen zu
klären.
Die Vorträge:
1. Teilbarkeit, Primzahlen: In diesem Vortrag werden die grundlegenden Definitionen präsentiert.
Inhalt: [Sch07, 1.1, 1.2]
2. Das Betrandsche Postulat: Im letzten Vortrag haben wir gesehen, dass es unendlich viele
Primzahlen gibt. Dieser Vortrag beschäftigt sich mit Lücken“ in der Folge der Primzahlen.
”
Wiederhole (und falls das im ersten Vortrag nicht geschehen ist, beweise) [Sch07, Satz 1.2.6].
Dieser Satz sagt, dass es beliebig große Lücken in der Folge der Primzahlen gibt. Hauptinhalt
dieses Vortrags ist das sogenannte Bertrandsche Postulat“: Für jedes n ∈ N, n > 1 gibt es
”
eine Primzahl im Intervall (n, 2n). Beweisen Sie das Bertrandsche Postulat wie in [AZ15, §.2]
(ohne Abschätzung durch Integrale“ und Stirlingsche Formel“). Wenn noch Zeit ist, geben
”
”
Sie die Abschätzung für die Anzahl der Primzahlen in (n, 2n) von [AZ15, S. 10] und einen
Ausblick auf den Primzahlsatz“.
”
3. Kongruenzen: In diesem Vortrag wird der wichtige Begriff der Kongruenz zweier Zahlen eingeführt.
Geben Sie [Sch07, 1.3] bis einschließlich Korollar 1.3.11 wieder. Dabei sollten Sie wiederholen
Montags, 14-16 Uhr, Raum: SR 210/A3, Arnimallee 3,
Email: [email protected],
Web: http://mi.fu-berlin.de/~kindler/.
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was ein kommutativer Ring ist, und zeigen warum Z/mZ ein kommutativer Ring ist. Als
beispielhafte Anwendung, präsentieren Sie [Sch07, 1.5].
4. Die Eulersche φ-Funktion und mehr über Primzahlen: Nun, da wir wissen was Kongruenz
bedeutet, können wir die Eulersche φ-Funktion definieren und studieren [Sch07, 1.3.13-1.3.17].
Als nächstes präsentieren Sie den Satz von Wilson und den kleinen Satz von Fermat, [Sch07,
1.4].
5. Polynome und prime Restklassen: In diesem Vortrag studieren wir zunächst Polynome und
Polynomkongruenzen. Definieren Sie den kommutativen Ring Z[X], und folgen Sie [Sch07, 1.6].
Der Begriff der Kongruenz für Polynome erlaubt es die Struktur von (Z/mZ)× zu bestimmen.
Folgen Sie dazu [Sch07, 1.7].
6. Quadratisches Reziprozitätsgesetz 1: Sei p eine Primzahl. In den folgenden zwei Vorträgen
studieren wir wie man feststellt, ob es zu einer gegebenen, zu p teilerfremden ganzen Zahl a,
eine ganze Zahl b gibt, so dass a kongruent zu b2 modulo p ist. Der zentrale Begriff ist das
Legendre-Symbol und das quadratische Reziprozitätsgesetz gibt eine Methode dieses Symbol
zu berechnen. Präsentieren Sie [Sch07, 2.1] und formulieren Sie die Sätze [Sch07, 2.2.1-2.2.3]
ohne Beweis. Als Anwendung beweisen Sie den Satz [Sch07, 2.3.6].
7. Quadratisches Reziprozitätsgesetz 2: In diesem Vortrag wird das quadratische Reziprozitätsgesetz bewiesen. Wiederholen Sie die Aussagen der Sätze [Sch07, 2.2.1-2.2.3] und beweisen
Sie sie anschließend; folgen Sie dazu [Sch07, 2.2]. Wenn am Ende Zeit ist, geben Sie ein paar
Beispielanwendungen aus [Sch07, 2.3.1-2.3.5].
8. Der Fermattest und Carmichael Zahlen: Dieser Vortrag beschäftigt sich mit der Frage wie
man testet, ob eine gegebenen ganzen Zahl n eine Primzahl ist oder nicht. Folgen Sie [Aig12,
2.5] bis zum Absatz vor Satz 2.22. Von den Übungen brauchen Sie nur Nummer 52 vorstellen.
9. Quadratsummen: Sätze von Lagrange: Wir analysieren, wann eine ganze Zahl als Summe von
Quadratzahlen geschrieben werden kann. Präsentieren Sie die Sätze [Sch07, 2.4.1, 2.4.2 und
2.4.5] mit Beweis. Falls noch Zeit ist diskutieren Sie auch 2.4.3 und 2.4.4.
10. Diophantische Gleichungen: Eine Diophantische Gleichung ist eine Polynomgleichung in der
nur ganze Koeffizienten auftreten. Man ist an ganzzahligen Lösungen interessiert. Erste
Überlegungen zeigen, dass es einfache Obstruktionen zur Existenz von Lösungen gibt; das ist
der Inhalt von [Sch07, 3.1], der in diesem Vortrag zuerst präsentiert werden soll. Anschließend
studieren wir lineare Gleichungssysteme; das entspricht [Sch07, 3.2].
11. Diophantische Gleichungen modulo Primzahlpotenzen: In diesem Vortrag werden [Sch07,
3.3, 3.4] diskutiert. Das erste Hauptresultat ist der Satz von Chevalley-Warning: Ist p eine
Primzahl, so besagt dieser Satz, dass die Anzahl der Lösungen eines Systems von Polynomgleichungen über Z/pZ durch p teilbar ist, falls die Anzahl der Variablen groß genug“ ist. Im
”
zweiten Teil des Vortrags studieren unter welchen Voraussetzungen die Existenz einer Lösung
einer diophantischen Gleichung modulo p die Existenz einer Lösung modulo pn für n > 1
impliziert.
12. Der große Fermatsche Satz: In diesem Vortrag geht es nun um die wahrscheinlich bekannteste
diophantische Gleichung: Die Fermat-Gleichung
X n + Y n = Z n , n ∈ N.
(1)
Der Brite Andrew Wiles bewies, dass diese Gleichung für n > 2 keine Lösung hat.
In diesem Seminar soll zunächst gezeigt werden, dass diese Gleichung für n = 2 immer
Lösungen hat; genauer es gibt unendlich viele Lösungen und man weiß genau wie sie aussehen.
Es sind die sogenannten Pythagoräischen Tripel. Hierfür gibt es viele mögliche Quellen, etwa
[Bun08, §.4.2], [Aig12, 4.4.1] oder [Bur98, 11.1] ([Sch07, 4.5] ist nur bedingt geeignet, da wir
in diesem Seminar nicht über den Körper Q(i) gesprochen haben).
Als nächstes beweisen Sie dass die Fermat-Gleichung für n = 4 keine Lösung hat. Folgen Sie
z.B. [Sch07, 7.1].
13. Der große Fermatsche Satz 2: Wir beschäftigen uns weiter mit dem Satz, dass die Gleichung
(1) keine Lösung besitzt, falls n > 2. Erklären Sie zunächst, dass wir annehmen können, dass
n = p eine ungerade Primzahl ist, da wir im letzten Vortrag gesehen haben, dass (1) für n = 4
keine Lösungen hat. Dann demonstrieren Sie die klassische Unterscheidung in Fall 1“ und
”
Fall 2“, [Sch07, 7.2]. Sophie Germain löste den ersten Fall der fermatschen Vermutung für
”
solche Primzahlen p, für die 2p + 1 wieder prim ist. Solche Primzahlen werden heute Germain
”
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Primzahlen“ genannt. Es ist unbekannt ob es unendlich viele von ihnen gibt. Geben Sie den
Beweis zum Satz von Sophie Germain.
Anschließend definieren Sie den Begriff der Mersenne Zahlen M (n) := 2n − 1, n ∈ N. Diese
Zahlen sind unter anderem bemerkenswert, weil sie die größten bekannten Primzahlen liefern
(siehe hier). Beweisen Sie, dass n prim ist, falls M (n) prim ist ([Bun08, §.1.8]). Umgekehrt ist
es nicht richtig, dass M (p) prim ist, für jede Primzahl p. Insbesondere, zeigen Sie uns, dass gilt:
Ist p eine Germain Primzahl so dass p ≡ 3 mod 4, dann gilt 2p + 1|M (p) ([Rib06, 2,VII]).
Literatur
[Aig12] Martin Aigner, Zahlentheorie. Eine Einführung mit Übungen, Hinweisen und Lösungen., Wiesbaden: Vieweg+Teubner, 2012 (German), http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-8348-8344-5.
[AZ15] Martin Aigner and Günter M. Ziegler, Das BUCH der Beweise. Mit Zeichnungen von Karl H. Hofmann., 4th
revised and expanded ed. ed., Heidelberg: Springer Spektrum, 2015 (German).
[Bun08] Peter Bundschuh, Einführung in die Zahlentheorie., 6th, revised and updated ed. ed., Berlin: Springer, 2008
(German), http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-540-76491-5.
[Bur98] David M. Burton, Elementary number theory. 4th ed., 4th ed. ed., New York, NY: McGraw-Hill, 1998 (English).
[ES03] Paul Erdős and János Surányi, Topics in the theory of numbers. Translated from the Hungarian by Barry
Guiduli. Abridged translation., abridged translation ed., New York, NY: Springer, 2003 (English).
[Rib06] Paulo Ribenboim, Die Welt der Primzahlen. Geheimnisse und Rekorde., Berlin: Springer, 2006 (German),
http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-18079-8.
[Sch07] Alexander Schmidt, Einführung in die algebraische Zahlentheorie., Berlin: Springer, 2007 (German), http:
//link.springer.com/book/10.1007/978-3-540-45974-3.
[Ser73] Jean-Pierre Serre, A course in arithmetic, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973, Translated from the
French, Graduate Texts in Mathematics, No. 7. MR 0344216 (49 #8956)
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