Ubungsblatt 1

Universität Klagenfurt
PR Algorithmen und Datenstrukturen
SS 2009
Übungstermine:
http://www.syssec.at/?id=ad09
Informatik – Systemsicherheit
P. Horster · S. Rass
R. Wigoutschnigg
Übungsblatt 1
Aufgabe 1.1: Summenformeln
a) Beweisen Sie die Formel für die Summe der Zahlen von 1 bis n
n
X
i = 1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1) + n =
i=1
n(n + 1)
2
b) Ermitteln Sie die Summenformeln für folgende Reihen:
• 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 3) + (2n − 1)
• a0 + a1 + a2 + · · · + an , ai := a0 + i · d
• 12 + 22 + 32 + · · · + (n − 1)2 + n2
c) Aus den Lehrveranstaltungen zur Diskreten Mathematik ist Ihnen das Beweisverfahren der vollständigen Induktion bekannt. Verwenden Sie dieses zum Beweis der folgenden Summenformeln:
• 2 + 4 + 6 + · · · + 2(n − 1) + 2n = n2 + n
• 13 + 23 + 33 + · · · + (n − 1)3 + n3 =
n2 (n+1)2
4
Aufgabe 1.2: Komplexitätsklassen
Es seien log(n) := log2 (n), ln(n) := loge (n) und ε ∈ R eine Konstante mit 0 < ε < 1. Ordnen Sie die
folgenden Komplexitätsklassen nach ihrer Größe und kennzeichnen Sie (gegebenenfalls) gleichmächtige
Komplexitätsordnungen.
O(2n ),
O(0, 2 · n),
O(1),
O(n3 ),
n
log(7)
O(n · log(n) · log(log(n))),
O(n ),
O(n · log(n)),
O(n
),
2
2
O(5 · n),
O(log(n )),
O(ln(n)),
O(n ),
O((log(n))2 ).
O(n1+ε ),
O(n · (log(n))1+ε ),
O(n · ln(n)),
Aufgabe 1.3: Landau-Symbole
a) Es bezeichne [x] den ganzzahligen Anteil der reellen Zahl x. Für welche Paare von Funktionen fi
und gi (1 ≤ i ≤ 5) gilt fi ∈ O(gi ), fi ∈ Ω(gi ) bzw. fi ∈ Θ(gi )?
√
g1 (n) = 1000 · n
f1 (n) = [ n]
√
√
3
g2 (n) = [ n]
f2 (n) = [ n]
g3 (n) = [n · log(n)]
f3 (n) = n2
g4 (n) = n2 p
f4 (n) = 198 · n2 − 12 · n + 55
√
g5 (n) = [n2 · (log(n))17,5 ]
f5 (n) = [n2 · 5 n]
b) Existieren Funktionen f, g : N → N + 1 mit f ∈
/ O(g) und g ∈
/ O(f )?
Beweisen Sie Ihre Aussage!