11. Übungsblatt zur Funktionentheorie I - KIT

Universität Karlsruhe
Mathematisches Institut I
Prof. Dr. M. von Renteln
Dr. C. Kaiser
SS 2005
11. Übungsblatt zur Funktionentheorie I
Abgabe bis Montag, den 4. Juli 2005, 13.00 Uhr, neben Raum 308
Aufgabe 11.1 K
Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
a) Es sei G ⊂ C ein beschränktes Gebiet, die Funktion f : G → C sei stetig und in
G holomorph und nullstellenfrei. Existiert eine Konstante c ≥ 0 mit |f (z)| = c für
alle z ∈ ∂G, so ist f konstant. Auf die Voraussetzung der Nullstellenfreiheit kann
dabei nicht verzichtet werden.
b) Ist f : C → C eine holomorphe, nicht konstante Funktion, so gilt für jedes c > 0
{ z ∈ C : |f (z)| < c } = { z ∈ C : |f (z)| ≤ c } .
Wird statt Holomorphie nur Stetigkeit vorausgesetzt, so muss dies nicht gelten.
c) Es seien f und g ganze Funktionen mit |f (z)| ≤ |g(z)| für alle z ∈ C. Beweisen Sie,
dass es ein c ∈ C mit f = c · g gibt.
Aufgabe 11.2
Die Funktion f sei holomorph in D und stetig auf D. Beweisen Sie, dass |f (z)| = 1 für
alle z ∈ ∂D genau dann gilt, wenn f die folgende Darstellung hat:
f (z) = eit
n
Y
z − ak
1 − ak z
(mit n ∈ N0 , ak ∈ D und t ∈ R) .
k=1
Aufgabe 11.3
Es sei f eine ganze Funktion. Beweisen Sie:
a) Ist f nicht konstant, so gibt es zu jedem a ∈ C eine Folge (zn ) in C mit f (zn ) → a.
b) Ist f kein Polynom, so kann man in a) die Folge derart wählen, dass zn → ∞ gilt.
c) Gilt f (z) ∈
/ R für alle z ∈ C, so ist f konstant.
— bitte wenden —
Aufgabe 11.4
Es sei n ∈ N0 . Zeigen Sie die folgende Verallgemeinerung des Satzes von Liouville: Die
holomorphe Funktion f : C → C ist genau dann ein Polynom mit Grad ≤ n, wenn
positive Konstanten a und b existieren mit
|f (z)| ≤ a + b|z|n
für alle z ∈ C .
Aufgabe 11.5 K
a) Bestimmen Sie alle Lösungen z ∈ C der Gleichung cos z =
1
2
.
b) Es sei w ∈ C \ {0} und r > 0. Zeigen Sie, dass die Gleichung e1/z = w unendlich
viele Lösungen z mit |z| ≤ r besitzt.
c) Beweisen Sie: Für alle z1 , z2 ∈ C \ {0} gilt
log(z1 z2 ) = log(z1 ) + log(z2 )
und
z1
log
z2
= log(z1 ) − log(z2 ) .
Hierbei bezeichnet z 7→ log(z) die mengenwertige Logarithmusfunktion, d.h. log(z) =
{w ∈ C : ew = z}.
Aufgabe 11.6
a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahlen:
(1 + i)i ,
i1/i ,
(Log i)i ,
i
i(i ) .
Hierbei bezeichnet z 7→ Log z den Hauptzweig des Logarithmus. Ausdrücke der
Form z w sind mit dem Hauptzweig des Logarithmus definiert.
b) Es sei z ∈ C \ {0}. Ohne Angabe eines Zweiges bezeichnet z w im allgemeinen eine
Punktmenge. Untersuchen Sie, für welche α ∈ C die beiden Ausdrücke (z α )2 und
(z 2 )α die gleiche Punktmenge definieren.
c) Beweisen Sie, dass der Hauptzweig der allgemeinen Exponentialfunktion z 7→ az
(mit a 6= 0) die Ableitung z 7→ az Log a hat.
Beachten Sie den späteren Abgabetermin!!!
Am Montag, 27. Juni 2005, findet keine Übung statt!!!