TU Ilmenau, Fakultät IA Institut Theoretische Informatik FG Automaten und Formale Sprachen PD Dr. M. Brinkmeier, Dr. E. Hübel http://www.tu-ilmenau.de/fakia/aud ss09.html Algorithmen und Datenstrukturen“ ” Übungsblatt 1, SS 2009 Aufgabe 1 (Induktion) Beweisen Sie die folgenden Behauptungen mittels vollständiger Induktion. n P i = n(n+1) (a) 2 i=1 (b) n P (b − 1)bi = bn+1 − 1 für b ≥ 1 i=0 (c) Beweisen Sie, dass jede natürliche Zahl n ≥ 2 eine Primfaktorzerlegung hat, d.h. Produkt von Primzahlen ist. (d) Beweisen Sie, dass für jede natürliche Zahl die Primfaktorzerlegung bis auf Reihenfolge eindeutig bestimmt ist. Aufgabe 2 (Die Harmonischen Zahlen) Für n ∈ N ist Hn = n P i=1 1 i die n-te Harmonische Zahl. Zeigen Sie: ln(n + 1) ≤ Hn ≤ ln n + 1. Hinweis: Beachten Sie, dass R 1 x dx = ln x gilt und betrachten Sie Ober- und Untersumme. Aufgabe 3 (Erwartungswerte) (Ω, p) sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum, d.h. Ω 6= ∅ ist endliche Menge, p : Ω → [0, 1] ist Funktion mit P p(ω) = 1. (p heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung, ω ∈ Ω heißt Elementarereignis.) ω∈Ω Ein Ereignis ist eine Teilmenge A von Ω. Die Wahrscheinlichkeit Pr(A) ist als P p(ω) definiert. ω∈A Zeigen Sie: Für Ereignisse A, B gilt: (a) 0 ≤ Pr(A) ≤ 1; Pr(∅) = 0, Pr(Ω) = 1. (b) A ⊆ B =⇒ Pr(A) ≤ Pr(B). (c) Pr(A ∪ B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A ∩ B). Notation: Wenn ϕ(ω), eine Aussage über ω’s ist, schreiben wir Pr(ϕ) anstelle von Pr({ω ∈ Ω | ϕ(ω)}). Eine P Zufallsvariable ist eine Funktion X : Ω → p(ω) · X(ω). R. Der Erwartungswert E(X) ist definiert als ω∈Ω Zeigen Sie: (d) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) für zwei Zufallsvariablen X und Y . (e) E(αX) = α E(X) für α ∈ R konstant, X Zufallsvariable. P (f ) Für jede Zufallsvariable X gilt: E(X) = x · Pr(X = x). Dabei ist X[Ω] = {X(ω) | ω ∈ Ω} = x∈X[Ω] Bild(X). R (g) E(X) = Pr(Y ∈ V ), falls Y eine Zufallsvariable ist und V ⊆ ist und X die Zufallsvariable mit ( 1 falls Y (ω) ∈ V X(ω) = 0 falls Y (ω) 6∈ V. Bitte wenden Aufgabe 4 (Rechenregeln für die asymptotische Notation) Zeigen Sie die folgenden Behauptungen: (a) O(f + g) = O(max{f, g}). (b) g1 ∈ O(f1 ) und g2 ∈ O(f2 ) =⇒ g1 · g2 ∈ O(f1 · f2 ). (c) |h(n)| = o(f (n)), f ∈ F + =⇒ f + h ∈ Θ(f ). (d) g ∈ Θ(f ) ⇔ O(f ) = O(g). (Sorgfältig beide Richtungen zeigen.) (e) Sei f (n) = ln n und g(n) = log n. Zeigen Sie O(f ) = O(g). (f) n! = O(nn ) und n! = Ω((n/2)n/2 ). Aufgabe 5 (Wachstumsordnungen) Beweisen Sie die folgenden Aussagen für jedes k > 0: (a) log n ∈ O(n1/k ) √ (b) O(log n) ⊆ O( n) ⊆ O( logn n ) ⊆ O(n) ⊆ O(n log n) ⊆ O(n(log n)2 ) ⊆ O(n2 ) ⊆ O(n3 ) ⊆ O(2n )