8.¨Ubung: Mathematische Methoden der Physik I

Universität Würzburg
Institut für Mathematik
Dr. G. Dirr
Wintersemester 2012/2013
Würzburg, den 21.12.2012
8. Übung: Mathematische Methoden der Physik I
+
8.1. Sei Sπ := {z ∈ C | − π < Im z < π} und Ω+ := C \ R−
0 . Ferner bezeichne log : Ω → C
−1
den Standardlogarithmus, also log := exp |Sπ
, d.h., log z := log r + iϕ, falls z = reiϕ
mit ϕ ∈ (−π, π).
(a) Begründen Sie, warum die Abbildung z 7→ log z auf Ω+ holomorph ist. Dabei dürfen
Sie ohne Beweis benutzen, dass z 7→ log z auf Ω+ stetig ist.
(b) Bestimmen Sie die Potenzreihenentwicklung der Abbildung z 7→ log z um z0 := 1.
[Hinweis: Beachten Sie, dass z 7→ log z auf Ω+ eine Stammfunktion von z 7→ z −1 ist.]
√
(c) Bestimmen Sie die Potenzreihenentwicklung von z 7→ log z um z∗ := −1+i
und un2
tersuchen Sie deren Konvergenzradius. Auf welchem Bereich stellt die berechnete
Potenzreihe die ursprüngliche Funktion, also den Standardlogarithmus dar?
(2+2+4 Punkte)
8.2. (a) Sei f : C → C holomorph und sei f 0 beschränkt, d.h., es existiert eine L > 0 mit
f 0 (z) ≤ L für alle z ∈ C. Zeigen Sie, dass f ein Polynom vom Grad kleiner gleich 1
ist.
(b) Sei f : C → C holomorph und doppelt-periodisch, d.h., es gibt komplexe Zahlen
ω1 , ω2 ∈ C \ {0} mit ωω21 6∈ Q und f (z) = f (z + ω1 ) = f (z + ω2 ) für alle z ∈ C. Zeigen
Sie, dass f konstant ist.
Hinweis: Betrachten Sie zuerst den Fall
ω1
ω2
∈ C \ R.
(3+4 Punkte)
8.3. (a) Bestimmen Sie alle holomorphen Funktion f : C → C, die f (z) = f (2z) für alle
z ∈ C erfüllen.
(b) Bestimmen Sie alle holomorphen Funktion f : C → C, die f (z) = 21 f (2z) für alle
z ∈ C erfüllen.
(3+3 Punkte)
8.4. (a) Sei Ω ∈ C offen und beschänkt und sei f : Ω → C stetig mit f (z) 6= 0 für alle z ∈ Ω.
Ferner sei f eingeschränkt auf Ω holomorph. Zeigen Sie, dass f das Minimumprinzip
erfüllt, d.h., es gilt
min |f (z)| = min |f (z)|.
z∈Ω
z∈∂Ω
Gilt das Minimumprinzip auch ohne die Voraussetzung f (z) 6= 0 für alle z ∈ Ω?
(b) Betrachten Sie auf Sπ := {z ∈ C | − π < Im z < π} die holomorphe Funktion
z 7→ f (z) := exp(exp(z)) und zeigen Sie die Abschätzung
sup |f (z)| < sup |f (z)|.
z∈∂S
z∈S
Warum ist dies kein Widerspruch zu Satz II.8 (Maximumprizip II ).
(3+3 Punkte)
8.5. Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen sowohl die Art der Singularität bei z0 = 0
als auch die entsprechende Laurent-Entwicklung:
(a) f : C \ {0} → C, f (z) :=
(b) g : C \ {0} → C, g(z) :=
ez −1
.
z
cos z
z
(c) h : C \ {0} → C, h(z) := sinh( z1 ).
Zur Erinnerung: sinh z :=
ez −e−z
2
(Sinus Hyperbolicus)
(2+2+2 Punkte)
8.6. Zeigen Sie, dass die Abbildung z 7→ ezz−1 eine hebbare Singularität bei z0 = 0 besitzt
und bestimmen
Rekursionsschema für die Koeffizienten bn ihrer PotenzreihenP Sie ein
n
Entwicklung ∞
b
z
um
z0 = 0. Begründen Sie ferner, warum R = 2π der Konvern=0 n
P
n
genzradius der Potenzreihe ∞
n=0 bn z ist.
(4 Punkte)
Definition: Eine Teilmenge U ⊂ C heißt sternförmig, wenn es einen sogenannten Sternpunkt
z0 ∈ U gibt, d.h., wenn es einen Punkt z0 ∈ U gibt, so dass für alle z ∈ U die Verbindungsstrecke
zwischen z0 und z ganz in U liegt.
8.7. Sei U ⊂ C. Zeigen Sie die folgenden Implikationen:
(a) U konvex =⇒ U sternförmig.
(b) U sternförmig =⇒ U einfach zusammenhängend.
(3+3 Punkte)
Bitte geben Sie Ihre schriftlichen Lösungen am Mittwoch, den 16.01.2013, in der Vorlesung ab.
Weitere Übungsblätter und Hinweise zur Vorlesung finden Sie auf
http://www2.mathematik.uni-wuerzburg.de/index.php?id=mathmeth1&type=lectures&sem=ws1213
unter dem Link Mathematische Methoden der Physik I.