Brückenkurs Schulmathematik 4. Veranstaltung: Arithmetik 3

Brückenkurs Schulmathematik
4. Veranstaltung: Arithmetik 3: Umrechnen von Größen,
Proportionalität, Prozentrechnung, Mittelwerte, Potenzieren
10. Mai 2012
Die Aufgaben zum Teil in Anlehnung an: Cukrowitz et al. (2006): Mathenetz 7 Gymnasium.
und Mathenetz 8 Gymnasium Ausgabe N, Braunschweig: Westermann.
1. Umrechnen von Größen
1. Aufgabe: Ordnen Sie der Größe nach!
a. 1,250 km
b. 3,03l
2
h
3
d. 48.000 g
e. 1 ha
c.
12,5 m
330 cm3
12.500 cm
3,3 dm3
23 min
2300 sec
4,8 kg
0,1 km2
4800 mg
1000 m2
10,25 dm
0,33 m
33 dl
3
1
Tag
48
0,48 t
100.000 dm2
2. Aufgabe: In der obigen Aufgabe kommen folgende Vorsätze in den Maßeinheiten vor:
a. Milli
b. Centi
c. Dezi
d. Kilo
Drücken Sie die Bedeutung dieser Vorsätze mithilfe von Zehnerpotenzen aus!
Sind Ihnen weitere Vorsätze bekannt? Wie könnte man deren Bedeutung durch
Zehnerpotenzen ausdrücken?
2. Proportionalität
3.
4.
5.
Aufgabe: Lesen Sie die folgenden Textaufgaben durch! Bei welcher Aufgabe geht es um
einen proportionalen/antiproportionalen Zusammenhang? Begründen Sie Ihre
Meinung! Lösen Sie anschließend die Aufgaben!
Aufgabe: Ein Auto verbraucht auf 100 km durchschnittlich 8 l Benzin.
a. Wie viel Liter verbraucht es auf 50/200/30 Kilometern?
b. Reicht es, den 45 l großen Tank einmal vollzutanken, wenn man von Jena
einen Ausflug nach Nürnberg machen möchte? (Entfernung Jena-Nürnberg:
221 km)
c. Wie weit kann es mit einem, mit 5, mit 10 Litern fahren?
Aufgabe: Auf Jenas Straßen soll an einem schneereichen Wintertag der Schnee geräumt
werden. Die Kommune verfügt über 15 Schneeräumer, die den Schnee üblicherweise in
16 Stunden entfernen können. Es sind heute allerdings 3 kaputt.
a. Wie lange wird die Räumung voraussichtlich dauern?
b. Wie viele Maschinen wären notwendig, um den Schnee an einem Arbeitstag
(d.h. in 8 Stunden) räumen zu können?
3. Prozentrechnung
6.
Aufgabe: Die Stadt Jena hatte im Jahr 2000 97.081 Einwohner, zehn Jahre später waren
es 103.714.
a. Um wie viel Prozent hat die Einwohnerzahl in diesem Jahrzehnt zugenommen?
b. Mit wie vielen Einwohnern ist im Jahr 2020 zu rechnen, wenn die Zahl der Einwohner
von 2010 bis 2020 um ebenso viele Menschen zunimmt wie im Jahrzehnt zuvor? Wie
viel Prozent Zuwachs sind das im Vergleich zur Einwohnerzahl im Jahre 2010?
c. Auf wie viele Menschen wird die Einwohnerzahl bis zum Jahr 2020 wachsen, wenn
sie von 2010 bis 2020 um den gleichen Anteil wächst wie im Jahrzehnt davor?
7.
Aufgabe: Besprechen Sie im Plenum anhand der obigen Aufgabe, was folgende Begriffe
bedeuten: Prozent, Prozentsatz, Prozentzahl, Grundwert, Prozentwert!
8.
Aufgabe: Ordnen Sie zu:
Grundwert
Prozentsatz
Prozentwert
Prozentzahl
Zinssatzzahl
Zinssatz
Jahreszinsen
Kapital
Aufgabe: Bettina hat ein Sparguthaben von 5000 Euro bei der Bank Sowieso, in welcher
die Zinsen jährlich ausgezahlt werden. Der Zinssatz beträgt in dieser Bank zurzeit 2 %.
Berechnen Sie das Endkapital, wenn Bettina das Geld
a. fünf Monate bzw.
b. 6 Jahre lang verzinsen lässt!
c. In wie vielen Jahren würde sich das Kapital verdoppeln?
d. Zu welchem Zinssatz soll das Kapital angelegt werden, damit es in 6 Jahren auf
mindestens 8000 Euro anwächst?
10. Aufgabe: Wie verändern sich die Antworten aus Aufgabe 10, wenn die Zinsen jährlich
dem Kapital zugeschlagen werden?
11. Aufgabe: Auf welchen Betrag wachsen 5000, - € in 6 Jahren bei einer Verzinsung von
2% an, wenn die Zinsen
a. jährlich
b. halbjährlich
c. vierteljährlich
d. monatlich dem Kapital zugeschlagen werden?
9.
4. Mittelwerte
Das arithmetische Mittel m der Zahlen a und b mit a≤b ist diejenige Zahl, die die gleiche
Entfernung von a und von b hat, es gilt also: b –m = m – a, d.h.:
m=
a+b
.
2
Das geometrische Mittel g der Zahlen a und b mit 0≤a≤b ist diejenige Zahl, die das gleiche
Verhältnis zu a und zu b hat, es gilt also: b : g = g : a, d.h.:
g = a ⋅b
12. Aufgabe: Versuchen Sie, das arithmetische und das geometrische Mittel geometrisch zu
interpretieren! (Hinweis: Streckenteilung, Höhensatz)
13. Aufgabe: Für jedes Zahlenpaar a und b mit 0≤a≤b gilt die sog. arithmetisch-geometrische
Ungleichung:
a+b
≥ a ⋅b
2
und die Gleichheit gilt genau dann, wenn a=b.
Zeigen Sie durch geometrische Interpretation der Mittelwerte die Richtigkeit dieses Satzes!
Für das harmonische Mittel h der Zahlen a und b mit 0≤a≤b gilt, dass dessen Kehrwert das
arithmetische Mittel der Kehrwerte von a und b ist, also:
1 1
+
2
2
2ab
1 a b
=
=
oder h =
=
1 1 b+a a+b
h
2
+
a b
ab
14. Aufgabe: Bestimmen Sie das geometrische Mittel des arithmetischen und des
harmonischen Mittels von a und b!
15. *Aufgabe: Zeigen Sie durch geometrische Interpretation der Mittelwerte, dass für jedes
a+b
2
gilt!
Zahlenpaar a und b mit 0≤a≤b
≥ a ⋅b ≥
1 1
2
+
a b
16. Aufgabe: Definieren Sie anhand der bisherigen Zusammenhänge das arithmetische, das
geometrische und das harmonische Mittel von n natürlichen Zahlen!
5. Potenzieren
17. Aufgabe: Welche Zahl ist größer:
5 7
4
1
− 9 + 10 oder 7 ?
8
3 3 3
3
18. Aufgabe: Vereinfachen Sie folgenden Term, notieren Sie bei jedem Schritt, welches
Potenzgesetz Sie verwendet haben!
(9 x y ) : (3xy )
(5 x y ) (5 xy )
2
3 4
2 6
3
4 3
5 3
; x ≠ 0, y ≠ 0
19. Aufgabe: Berechnen Sie den genauen Wert der folgenden Terme:
)
(
2
7
3
12 + 23 + 12 − 23
b.
40 + 3 16 − 3 214
8
8
20. Aufgabe: Bestimmen Sie
7 mit dem Iterationsverfahren nach Heron (hierzu:
a.
3
Cukrowitz et al. (2006): Mathenetz 8 Gymnasium Ausgabe N, Braunschweig:
Westermann, S. 184-185.), wählen Sie 4 als Startwert und führen Sie drei Schritte durch!
Bestimmen Sie dabei auch die Genauigkeit des Ergebnisses!
21. Aufgabe: Vereinfachen Sie folgende Terme! Notieren Sie bei jedem Schritt, welches
Logarithmengesetz Sie verwendet haben!
lg 2 + lg 8 − lg 4
a.
1
+ log 3 90 − log 3 10 + 2 ⋅ lg 5
c. lg
b.
log 2
1
+ 3 ⋅ log 2 4 − log 4 4
8
25
d.
(log
2
2 25 ) : (log 4 4 4 )