7. Übungsblatt - KIT - Fakultät für Mathematik

PD Dr. Daniel Hug
Dr. Steffen Winter
Universität Karlsruhe
Institut für Algebra und Geometrie
Mathematik I für die Fachrichtungen Biologie und Chemie
Übungsblatt 7
Wintersemester 08/09
Aufgabe 1. Rekursive Folgen.
Wir betrachten die rekursiv definierte Folge
√
√
an+1 = 2 + an
a1 = 2,
(n ∈ N).
(a) Schreiben Sie die Folgenglieder a1 , . . . , a4 explizit aus.
(b) Zeigen Sie, dass die Folge (an )n∈N monoton wächst.
(Hinweis: Vollständige Induktion.)
(c) Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N gilt:
an ≤ 2.
(d) Begründen Sie, dass die Folge (an )n∈N konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert.
Aufgabe 2. Populationsdynamik.
Eine Population von Ratten soll durch Aussetzen steriler Männchen reduziert werden. Nimmt man
an, dass sich verschiedene Generationen klar trennen lassen, d.h., dass alle Ratten gleichzeitig Junge
bekommen und bis zur Geschlechtsreife der Jungen alle Eltern gestorben sind, dass sich Ratten pro
Generation nur einmal paaren und dass es in jeder Generation gleich viele Männchen wie Weibchen
gibt, so lässt sich die Populationsentwicklung mit folgendem einfachen Modell beschreiben: Sei xk die
Anzahl der fruchtbaren Männchen in der k–ten Generation (x0 > 0), s > 0 die Anzahl der in jeder
Generation ausgesetzten sterilen Männchen und r > 1 die mittlere Anzahl der männlichen Nachkommen
pro fruchtbarem Paarungsvorgang. Dann ist
xk+1 = r
x2k
xk + s
k = 0, 1, 2, 3, . . .
(a) Welche beiden Zahlen kommen als Grenzwert der Folge (xk )k∈N in Frage?
(b) Zeigen Sie, dass für s > (r − 1)x0 die Zahl xk der fruchtbaren Männchen monoton abnimmt und
die Population ausstirbt.
(c) Zeigen Sie, dass für s < (r − 1)x0 die Population monoton gegen Unendlich wächst.
(d) Was geschieht für s = (r − 1)x0 ?
Aufgabe 3. Reihen.
(a) Bestimmen Sie die Werte der folgenden Reihen:
∞
X
1
,
2n
3
n=1
∞
X
(−1)
k=0
k+1
5
2k
(b) Die Folge (an )n∈N sei rekursiv erklärt durch
a0 := 3,
an+1 := 2 +
4 − 2an
,
3
n ∈ N0 .
Bestimmen Sie einen geschlossenen Ausdruck für an . (Anleitung: Berechnen Sie die ersten Folgeglieder, stellen Sie eine Hypothese auf, wie die geschlossene Formel aussehen könnte und beweisen
Sie diese Hypothese dann.)
Abgabe der Lösungen bis Montag, den 15.12.2008, 12:00 Uhr an der üblichen Stelle.