1. Klausur zur WGMS IV

Prof. Dr. A. Beutelspacher
Jörn Schweisgut
11.06.2005
1. Klausur zur WGMS IV
1.
Zeigen Sie, dass die Menge 7Z der Vielfachen der Zahl 7 abzählbar ist.
2.
Zeigen Sie, dass
3.
Berechnen Sie die ersten drei Glieder der Folgen (an )n≥1 . Welche der Folgen sind nach
unten oder nach oben beschränkt (oder beides)? Geben Sie gegebenenfalls das Inmum
bzw. das Supremum an.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
4.
an =
√
13 irrational ist.
n
n+10
an = (−3)n
an = 2 −
2
n2
an = 5 · (−1)n + 5
n
an = 1 + 41
Welche der Folgen (an )n≥1 sind konvergent? Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert mit Hilfe der Grenzwertsätze und geben Sie ihn jeweils sowohl als echten Bruch
als auch als Dezimalzahl an.
(a) an =
0,0035·n
n+3
(b) an = 5 + n3n−3
2
2
(c) an =
(d) an =
(e) an =
5.
3n3 −500n
396n3 +100n2 +10n−10
10−n
(−1)n · 100+n
2
10+n
(−1)n · 100+n
+1
Sei (an ) die Folge mit an =
3n
n+3
.
(a) Bestimmen Sie den Grenzwert a dieser Folge.
(b) Bestimmen Sie für ε = 0, 0001 die kleinste Nummer N , so dass für alle Folgenglieder an mit n ≥ N gilt |an − a| < ε.
Geben Sie den Rechenweg an!
Name:
6
Gruppe:
Kreuzen Sie jeweils an, ob die Aussage richtig (r) oder falsch (f) ist.
Hinweis zur Bewertung:
Für richtige Antworten gibt es 12 Punkt.
Wenn Sie bei einer Aussage kein Kreuz machen, gibt es dort 0 Punkte.
Für falsche Antworten gibt es 21 Punkt Abzug. Es gibt aber keine negative Gesamtpunktzahl, d.h. Sie erhalten mindestens 0 Punkte auf die Aufgabe.
(r)
(f )
Aussage
Das arithmetische Mittel ist nie gröÿer als das geometrische.
N und Q sind gleichmächtig.
Ein endlicher Dezimalbruch entspricht einem gewöhnlichen Bruch,
dessen Nenner (nach Kürzung) nur die Primfaktoren 2 und 5 enthält.
Ein nicht-endlicher, nichtperiodischer Dezimalbruch ist eine reelle Zahl,
die nicht rational ist.
Jede nichtleere Menge reeller Zahlen hat ein eindeutig bestimmtes
Supremum.
Die ganzen Zahlen sind abgeschlossen bezüglich Multiplikation
und Division.
Jede monotone beschränkte Folge hat einen Grenzwert.
Die geometrische Reihe divergiert.
Hinweise zur Klausur:
• Schreiben Sie auf jedes Blatt (auch auf dieses) oben rechts Ihren Namen und Ihre
Übungsgruppe.
• Geben Sie die Klausur nach Aufgaben sortiert ab.
Jede Aufgabe auf ein neues A4-Blatt.
• Jede Aufgabe ist 4 Punkte wert. Gewertet werden die besten fünf Aufgaben.
• Es sind
keine
Hilfsmittel zugelassen.
Viel Erfolg!