Blatt 2

Grundbildung Analysis
Blatt 2
WiS 2016/17 — H. Kiechle, S. Koch
Präsenzaufgaben
Es sei M ⊆ R eine nicht leere Menge reeller Zahlen. Wir sagen, die reelle Zahl s sei eine obere
(untere) Schranke, wenn für alle a ∈ M gilt a ≤ s (bzw. a ≥ s).
M heißt beschränkt, wenn es eine obere und eine untere Schranke gibt.
Die Zahl s ∈ R heißt Supremum (bzw. Infimum) von M , wenn s kleinste obere (bzw. größte
untere) Schranke ist. Wir schreiben dann s = sup M (bzw. s = inf M ).
6. Untersuchen Sie folgende Mengen auf obere und untere Schranken. Geben Sie ggf. Infimum
und/oder Supremum an.
{−2, −1, 0, 2, 3}, Q, N, R<0 ,
a ∈ Q ; a2 < 3 .
7. Leiten Sie aus der Tatsache, dass N nicht (nach oben) beschränkt ist, folgende Aussage her:
∀ε > 0 : ∃n0 ∈ N mit
1
<ε
n0
8. Die Folge (an ) sei monoton wachsend und beschränkt. Dann besitzt die Menge aller Folgenglieder
{an ; n ∈ N} ein Supremum s. Es gilt dann lim an = s.
9. Wahr oder falsch?
(a) Supremum ist dasselbe wie Maximum.
(b) Wenn eine Menge ein Infimum besitzt, kann sie kein Minimum besitzen.
(c) Wenn eine Menge ein Minimum besitzt, besitzt sie ein Infimum.
(d) Eine Menge kann höchstens ein Supremum besitzen.
(e) Fast alle Hamburger wissen was ein Supremum ist.
Hausaufgaben
10. Gegeben seien konvergente Folgen (an ) und (bn ). Dann gilt
lim (an + bn ) = lim an + lim bn .
n→∞
n→∞
n→∞
bitte wenden!
11. Testen Sie Ihren Taschenrechner (oder Ihre Tabellenkalkulation)!
(a) Loten Sie aus, bis zu welcher Zehnerpotenz
n Ihr Taschenrechner (oder Ihre Tabellenkalkula1
tion) die Glieder der Folge an := 1 +
korrekt (bis auf Rundung) wiedergibt.
n
i. Dokumentieren Sie Ihre Ergebnisse in einer Tabelle.
ii. Testen Sie auch Zahlen, die keine Zehnerpotenzen sind.
iii. Versuchen Sie eine Erklärung.
n
X
1
(b) Gegeben sei die Folge en :=
k!
k=0
i. Berechnen Sie einige Folgenglieder der Folge (en ).
ii. Skizzieren Sie die ersten 6 Folgenglieder in ein Koordinatensystem.
iii. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit den Werten der Folge (an ) und formulieren Sie eine
— naheliegende — Vermutung.
12. Um das Wachstum einer Population zu modellieren, definieren wir eine Folge (Xn )n∈N0 , in der
Xn die Anzahl der Individuen der Population zum Zeitpunkt n ∈ N0 sei. Für diese Folge machen
wir folgende Annahmen:
• Es gibt eine maximale Anzahl G von Individuen der Population, die nicht überschritten
werden kann, d.h., es ist Xn ≤ G für alle n ∈ N0 .
• Durch Fortpflanzung vergrößert sich die Population zumindest für kleine Populationsgrößen
nahezu proportional zum Bestand (Xn ), d.h. Xn+1 ∼ αXn .
• Durch Sterben reduziert sich die Population in Abhängigkeit von G − Xn (je mehr Individuen es gibt, desto mehr sterben, z.B. durch Nahrungsmangel), d.h. β(G − Xn ) ist ein
weiterer Faktor.
• Insgesamt ergibt sich Xn+1 = αβ(G − Xn )Xn .
Um den mathematischen Gehalt besser zu erkennen normieren wir die Gleichung mit dem Faktor
1
und schreiben xn := XGn :
G
xn+1 = αβG xn (1 − xn ) = rxn (1 − xn ),
mit xn ∈ [0, 1] und r = αβG.
(a) Interpretieren Sie die Größe xn und erläutern Sie warum xn ∈ [0, 1]. Warum muss r ≤ 4
sein?
(b) Mit der Funktion fr (x) := rx(1 − x) kann man die Rekursion kürzer durch xn+1 := fr (xn )
beschreiben. Skizzieren Sie die Funktion für den Wert r = 2.
(c) Untersuchen Sie das Verhalten der Folge (xn ) für die Werte r ∈ {1, 2, 3.3, 4} mit Hilfe einer
Tabellenkalkulation. Benutzen Sie als Startwert zunächst immer x0 = 0.6.
Hinweis: Um die Effekte zu beobachten muss man in manchen Fällen einige Hundert Iterationen durchführen, also z.B. bis x200 gehen.
(d) Stellen Sie für jede der vier Folgen Vermutungen über das Verhalten der Folge an. Nennen
Sie ggf. Grenzwerte, oder andere Auffälligkeiten.
(e) Interpretieren Sie Ihre Beobachtungen für alle vier Fälle.
(f) Untersuchen Sie nun andere Startwerte im Fall r = 2 und im Fall r = 4.