Übungsblatt 3

Analysis 1: Alberto Cattaneo
HS 2008
Übungsblatt 3
Abgabetermin: Mittwoch, 15.Oktober bis 10 Uhr in die Ablagefächer über den Briefkästen in
Y27K. Der Herleitungsweg von Resultaten muss übersichtlich und vollständig sein. Die Antworten müssen begründet sein. Bitte die Lösungen leserlich schreiben!
Aufgabe 1. (a) Bestimmen Sie den Betrag, sowie die Real- und Imaginärteile der
folgenden komplexen Zahlen:
2i − 1
,
i−2
(1 + 2i)3 ,
3i
√ .
i− 3
(b) Lösen Sie die folgenden Gleichungen:
z = (2 + 3i)z,
Aufgabe 2.
z2 = z2,
z + 2 + 3i
= i + 2,
2z − 3
−2iz =
1+z
.
1+i
(a) Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N \ {0} und für alle a, b ∈ C die Identität
(an − bn ) = (a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + abn−2 + bn−1 )
gilt.
(b) Wieviele Lösungen hat die Gleichung
z n − 1 = 0.
(1)
in C ? Mache eine Zeichnung. Zeigen Sie, dass mindestens eine Lösung z∗ von (1)
existiert, so dass alle Lösungen von (1) ganzzahlige Potenzen von z∗ sind. Zeigen
Sie mit Hilfe von a) dass die Summe aller Lösungen von (1) Null ist.
Aufgabe 3. Ermittlen Sie für die folgenden Teilmengen Mi ⊆ R (i = 1, 2, 3, 4) den
Durchschnitt aller offenen Intervalle, die M enthalten, d.h. ermittle
\
N :=
(a, b)
(a,b)⊇M
für
• M1 = { x1 + x |
1
2
< x ≤ 2}
x
• M2 = { 1+x
| x > −1}
• M3 = { x1 −
1
y
| x ∈ (R\Q) ∩ [1, ∞), y ∈ Q ∩ [1, ∞)}
n
• M4 = { 1+(−1)
2n+(−1)n | n ∈ N}
n
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Analysis 1: Alberto Cattaneo
HS 2008
Aufgabe 4. Die Zahlengerade R kann (nach oben) erweitert werden, indem man das
Symbol +∞ hinzufügt. Man definiert R = R ∪ {+∞} und man erweitert die auf R
definierte Ordnungsrelation durch die Regel +∞ > x ∀x ∈ R. Eine obere Schranke einer
Teilmenge M von R ist ein s ∈ R mit s ≥ x ∀x ∈ M . Eine obere Schranke s von M
heisst Supremum – und man schreibt s = sup M – falls
s′ obere Schranke von M ∧ s′ ≤ s ⇒ s′ = s.
Zeigen Sie folgende Aussagen:
1. Jede nichtleere Teilmenge von R besitzt genau ein Supremum.
2. Es sei {Mα : α ∈ A} eine (endliche oder unendliche)
Familie von nichtleeren Mengen
S
Mα ⊂ R mit mα = sup Mα ≤ +∞, und M = α∈A Mα . Dann gilt
sup M = sup{mα : α ∈ A}.
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