4. ¨Ubung zur Analysis I

Julius-Maximilians-Universität Würzburg
Mathematisches Institut
Prof. Dr. H. Pabel
PD Dr. Oliver Roth, Dr. Daniela Kraus, Ralf Winkler
Würzburg, den 14. November 2005
4. Übung zur Analysis I
Wintersemester 2005/06
13.) Zeigen Sie: In einem totalgeordneten Körper K sind die folgenden Aussagen äquivalent:
a.) Jede nicht-leere, nach oben beschränkte Teilmenge von K besitzt ein Supremum (in K).
b.) Zu nicht-leeren Mengen A, B ⊂ K mit A ∪ B = K und ∀a∈A ∀b∈B a < b existiert eine Zahl
s ∈ K mit
∀a∈A ∀b∈B a ≤ s ≤ b .
14.) Es seien X und Y nichtleere beschränkte Teilmengen von
. Zeigen Sie:
a.) sup(X ∪ Y ) = max {sup X, sup Y }.
b.) Gilt X ∩ Y 6= ∅, so ist sup(X ∩ Y ) ≤ min{sup X, sup Y }.
c.) Ist inf X > 0, so besteht für das Infimum und Supremum der Menge
Z = {z ∈
| z = x−1 , x ∈ X}
der Zusammenhang: sup(Z) = (inf X)−1 .
15.)
a.) Bestimmen Sie, falls vorhanden, (in ) das Supremum, Maximum, Minimum und Infimum der
Mengen
1
1
n
A =
,
B = (−1)n
.
+
| n, m ∈ , m ≥ n
|n ∈
n m
n + 2005
b.) Es sei a0 := 3 sowie a1 := 73 . Für n ∈
an+2 :=
Zeigen Sie die Existenz von inf a[
16.) Es sei n ∈
0]
0
sei rekursiv definiert:
1
1
14
an + an+1 +
.
18
6
9
sowie sup a[
0]
und bestimmen Sie diese.
mit n ≥ 2 sowie reelle Zahlen 0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an−1 ≤ an gegeben. Zeigen Sie:
a.)
n
Y
i=1
ai := a1 · a2 · . . . · an = 1
!
⇒
n
X
i=1
ai ≥ n .
b.) Es gilt die Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel:
√
a1 + . . . + a n
n
a1 · a2 . . . · an ≤
.
n
Abgabe der schriftlichen Lösungen bis spätestens Mittwoch, den 23. November, 12:00 Uhr, in die
richtigen Briefkästen neben der Mathe/Info-Teilbibliothek.