Ubungsblatt 1 Analysis für Informatik [MA0902]

TU München, Zentrum Mathematik
Lehrstuhl für Mathematische Modellierung
WS 2012/2013
Prof. Dr. Martin Brokate
Dr. Mathias Rafler
Übungsblatt 1
Analysis für Informatik [MA0902]
Ausgabe: 22. Oktober 2012
Abgabe: 30. Oktober 2012 um 08:30 Uhr, Briefkasten Analysis für Informatik“im
”
Untergeschoß
Hausaufgabe 1.1 (Maximum)
Zeigen Sie:
2 Punkte
max{a, b} =
a + b + |a − b|
.
2
Hausaufgabe 1.2 (Komplexe Zahlen)
8 Punkte
Berechnen Sie Real- und Imaginärteil sowie die Beträge der folgenden komplexen Zahlen:
P2012
k
(c) (2 + 3i)(1 + i)(2 − 3i)
(d)
(a) (3 − i)3
(b) 2i−3
k=1 (−i)
4+i
Hausaufgabe 1.3 (Wahr oder falsch?)
Sei A ⊂ R. Begründen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
4 Punkte
(a) Existieren min A und max A, so ist A endlich.
(b) Existiert max A, so ist A unendlich.
(c) Ist A endlich, so existieren min A und max A.
(d) Ist A unendlich, so existiert min A nicht.
Hausaufgabe 1.4 (Irrationalität)
Seien a, b, c, d ∈ Q mit ad − bc 6= 0. Zeigen Sie, dass für x ∈ R \ Q auch
w=
6 Punkte
ax + b
∈R\Q
cx + d
gilt, indem Sie einen Widerspruchsbeweis führen.
Tutoriumsaufgabe 1.1 (Ordnungsrelationen)
Beweisen Sie direkt aus den die Ordnungsstruktur definierenden Eigenschaften für reelle Zahlen
x, y, z:
(b) Aus x ≤ y und y ≤ x folgt x = y.
(a) Aus x < y und y < z folgt x < z,
1
Tutoriumsaufgabe 1.2 (Suprema und Infima)
Bestimmen Sie Supremum und Infimum der folgenden Mengen und Prüfen Sie, ob diese ein
Maximum bzw. ein Minimum besitzen:
n
o
n
o
|x|
x
(a) 1+|x|
:x∈R ,
(b) 1+x
: x > −1 ,
(c) x + x1 : 12 < x ≤ 2 ,
(d) x : (x + 1)2 + 5y 2 < 4, (x, y) ∈ R2 .
Tutoriumsaufgabe 1.3 (Rechenregeln für Supremum und Infimum)
Seien X, Y ⊆ R. Zeigen Sie
(a) sup(X + Y ) = sup(X) + sup(Y ),
(
λ sup(X) λ ≥ 0
(b) sup(λX) =
,
λ inf(X) λ < 0
(c) sup(X − Y ) = sup(X) − inf(Y )
Tutoriumsaufgabe 1.4 (Komplexe Zahlen)
1
Zeigen Sie, dass für z 6= 0 gilt z −1 = x2 +y
2 (x − yi).
http://www.ma.tum.de/HM/MA0902 2012W
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